head(IQ)

str(IQ)

'data.frame':   27 obs. of  5 variables:
 $ X       : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ IQbio   : int  82 80 88 108 116 117 132 71 75 93 ...
 $ IQfoster: int  82 90 91 115 115 129 131 78 79 82 ...
 $ class   : Factor w/ 3 levels "high","low","medium": 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 ...
 $ IQBio_z : num [1:27, 1] -0.815 -0.94 -0.442 0.801 1.299 ...
  ..- attr(*, "scaled:center")= num 95.1
  ..- attr(*, "scaled:scale")= num 16.1

1) Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied zwischen dem Durchschnitts-IQ in Deutschland und dem IQ aus der Stichprobe.

H0: Es gibt keinen Unterschied zwischen dem Durchschnitts-IQ in Deutschland und dem IQ aus der Stichprobe.

2) Voraussetzungen für den t-Tests für eine Stichprobe

✓ Die Variable ist min. intervallskaliert -> IQ_bio ist metrisch
✓ Die Variable ist in die Grundgesamtheite normalverteilt -> siehe Histogramm

Prüfung der Normalverteilung mittels Histogramm

hist(IQ$IQbio, main = "Der IQ der Stichprobe", xlab ="IQ-Punkte", ylab = "Anzahl", col = "purple")

Prüfung der Normalverteilung mittels QQPlot

library(car)
qqPlot(IQ$IQbio, main = "Der IQ der Stichprobe", col = "purple")

[1]  7 14

Es liegt eine Normalverteilung vor.

Ergebnis der Auswertung

Der DurchschnittsIQ in Deutschland liegt bei 105 IQ-Punkten.

t.test(IQ$IQbio, mu=105)

    One Sample t-test

data:  IQ$IQbio
t = -3.1951, df = 26, p-value = 0.003647
alternative hypothesis: true mean is not equal to 105
95 percent confidence interval:
  88.74916 101.47307
sample estimates:
mean of x 
 95.11111 

Es gibt einen Unterschied zwischen dem IQ der Stichprobe und dem DurchschnittsIQ (t(26)= -3.1951, p= 0.003, n= 27).

z-Tranformation

psych::describe(IQ$IQbio) #Zur Prüfung der z-Transformation

IQ_Bio_z <- scale(IQ$IQbio) #Z-Transformation

# Histogramm zur Kontrolle der Verteilung
hist(IQ_Bio_z, main = "Der IQ der Stichprobe - z-transformiert", xlab ="IQ-Punkte", ylab = "Anzahl", col = "purple", breaks =4)

Hinzufügen der Z-Wertezum Datensatz

#IQ<- cbind(IQ, "IQBio_z" = IQ_Bio_z)
#View(IQ)
#IQ$IQBio_z <- NULL # Die Spalte löschen, falls zu viele Z-Werte hinzugefügt wurden

Alternative

IQ["IQBio_z"] <- IQ_Bio_z
View(IQ)

Ergebnis der Auswertung mit Z-Transformation

\[ z = \frac {(x-µ)}{σ} = \frac {(105-95.11)}{16.08} = 0.614\]

norm_z = (105-mean(IQ$IQbio))/sd(IQ$IQbio)# Z-Wert berechnen
t.test(IQ$IQBio_z,mu=norm_z)

    One Sample t-test

data:  IQ$IQBio_z
t = -3.1951, df = 26, p-value = 0.003647
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.6148919
95 percent confidence interval:
 -0.3955868  0.3955868
sample estimates:
   mean of x 
-1.96356e-16 

4) Aussage

Es gibt einen Unterschied zwischen dem IQ der Stichprobe und dem DurchschnittsIQ (t(26)= -3.1951, p= 0.003, n= 27).