\[df = n-1 = 27-1 = 26\] mit
\(n\) = Stichprobengröße
\(df\) = Freiheitsgrade

psych::describe(IQ$IQbio)

t-emprisch

\[\hat{SE_M}= \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}=\frac{16.08 }{\sqrt{27}}=3.094\]

16.08 /sqrt(27)

[1] 3.094597

mit
\(\sigma\) = geschätzte Standardabweichung
\(\hat{SE_M}\) = Standardfehler des Mittelwerts
\(n\) = Stichprobengröße

\[t_{emp}= \frac{\hat{\mu}- \mu}{\hat{SE_M}}=\frac{105-95.11}{3.0945}=3.19\]

(95.11-105)/3.0945

[1] -3.195993

mit
\(t_{emp}\) = empirischer t-Wert
\(\hat{\mu}\) = geschätzter Mittelwert
\(\mu\) = Konstante (fester Wert) bzw. Mittelwert der Grundgesamtheit (unter der Nullhypothese)
\(\hat{SE_M}\) = Standardfehler des Mittelwerts

t-kritisch

 qt(.975, df = 26)

[1] 2.055529

Signifikanz der Teststatistik

Der berechnete Wert muss nun auf Signifikanz geprüft werden. Dazu wird die Teststatistik mit dem kritischen Wert der durch die Freiheitsgrade bestimmten t-Verteilung verglichen werden. Dieser kritische Wert kann Tabellen entnommen werden. Abbildung zeigt einen Ausschnitt einer t-Tabelle, der einige kritische Werte für die Signifikanzniveaus .05 und .01 zeigt.

Für das vorliegende Beispiel beträgt der kritische Wert 2.055529 bei df = 26 und α = .05. Ist der Betrag der Teststatistik höher als der kritische Wert, so ist der Unterschied signifikant. Dies ist für das Beispiel der Fall: \[t_{emp}= 3.19 >2.05= t_{kritsch}\] Es kann also davon ausgegangen werden, dass sich der Mittelwerte unterscheidet (t(26) = 3.195993, p < .05, n = 27).