friedman$Zeitpunkt = as.factor(friedmanstudio$Zeitpunkt)
friedman$Zeitpunkt<-factor(friedman$Zeitpunkt, levels=c("Vortest", "T1", "T2", "T3")) 

Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied zwischen der emotionalen Stabilität und den Messzeitpunkten.


H0: Es gibt keinen Unterschied zwischen der emotionalen Stabilität und den Messzeitpunkten.

Voraussetzungen des Friedman-Tests

Boxplot

boxplot(friedman$EStabilitaet ~  friedman$Zeitpunkt, main = "Boxplot", col = c("hotpink3","tomato", "orange", "lightblue"), xlab = "Entwicklung der emotionalen Stabilität", ylab = "Die emotionale Stabilität")

Es besteht ein Unterschied in den zentralen Tendenzen zwischen den Messzeitpunkten. Es liegen ein Ausreißer bei T3 vor. Dieser kann ignoriert werden.

Deskriptive Statistik

library(dplyr)
friedman %>%
  group_by(Zeitpunkt) %>%
  summarize(Anzahl = n(),  Median = median(EStabilitaet)) %>%
  mutate_if(is.numeric, round, 2)
ABCDEFGHIJ0123456789
Zeitpunkt
<fctr>
Anzahl
<dbl>
Median
<dbl>
Vortest1193
T11163
T21148
T31124

Die Mediane unterscheiden sich. Die emotionale Stabilität verbessert sich im Lauf der Therapie.

Ergebnisse des Friedman-Test


fried <- friedman.test(EStabilitaet ~ Zeitpunkt|ID,  data = friedman)

fried

    Friedman rank sum test

data:  EStabilitaet and Zeitpunkt and ID
Friedman chi-squared = 28.636, df = 3, p-value = 2.67e-06

Wie Abbildung entnommen werden kann, unterscheiden sich die emotionale Stabilität in den einzelnen Messzeitpunkte signifikant (Chi-Quadrat(3) = 28.636, p < .000, n = 11).

Post-hoc-Tests

Obwohl der F-Test einen Haupteffekt des Trainings zeigt, müssen Post-hoc-Tests angewendet werden, um zu bestimmen, zwischen welchen Messzeitpunkten signifikante Unterschiede in der Konzentrationsfähigkeit bestehen.

Bei multiplen Tests wird im Prinzip für jede Paarung von Mittelwerten ein t-Test durchgeführt. Im vorliegenden Beispiel (4 Gruppen) sind dies 6 Vergleiche. Da jeder zusätzliche Vergleich den Alpha-Fehler (die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese) erhöht, ist diese Vorgehensweise problematisch.

Wird nur ein einzelner t-Test mit einem Signifikanzniveau von .05 durchgeführt, liegt die Wahrscheinlichkeit, keinen Alpha-Fehler zu begehen, bei 95%. Bei sechs solcher Paarvergleiche (4 Gruppen) beträgt sie jedoch nur (.95)6 = .74, sodass das Risiko für einen Alpha-Fehler 26% beträgt. Diese Fehlerwahrscheinlichkeit nennt man Familywise Error Rate.

Um diesem Effekt entgegenzuwirken, kann α (Alpha) auf die Anzahl der Vergleiche aufgeteilt werden. In diesem Beispiel bedeutet das .05 / 6 = .008.

pairwise.t.test(friedman$EStabilitaet,
                friedman$Zeitpunkt, 
                p.adjust.method = "none", 
                paired = TRUE, 
                data = friedman)

    Pairwise comparisons using paired t tests 

data:  friedman$EStabilitaet and friedman$Zeitpunkt 

   Vortest T1      T2     
T1 0.01262 -       -      
T2 0.00032 0.00790 -      
T3 1.8e-05 3.2e-06 2.4e-06

P value adjustment method: none 

Es wird ersichtlich, dass alle Messzeitpunkt sich signifkant unterscheiden(p < .008) bis auf Vortest und T1(p = 0.01262). Allerdings werden T2 und T1 nur knapp eine signifkant (p = 0.00790). Daher scheint die Therapie erst bei längere Anwendung erfolgreich zu sein.

Berechnung der Effektstärke

w=X2n


w = sqrt(fried$statistic/11)
w
Friedman chi-squared 
            1.613476 

Zur Beurteilung der Grösse des Effektes dient die Einteilung:

w = .10 entspricht einem schwachen Effekt
w = .30 entspricht einem mittleren Effekt
w = .50 entspricht einem starken Effekt

Damit entspricht die Effektstärke von 1.6134 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Die emotionale Stabilität verbessert sich im Lauf der Therapie (Friedman-Test: (Chi-Quadrat(3) = 28.636, p < .000, n = 11)). Der Post-Hoc-Test zeigt, dass alle Messzeitpunkt sich signifkant unterscheiden (p < .008) bis auf Vortest und T1 (p = 0.01262). Allerdings zeichnet sich bei T2 und T1 nur knapp eine signifkant (p = 0.00790) ab. Daher scheint die Therapie erst bei längere Anwendung erfolgreich zu sein.

Darüber hinaus ist der Effekt auch noch stark (w= 1.6134). H0 wird abgelehnt.

LS0tDQp0aXRsZTogIlIgTm90ZWJvb2siDQpvdXRwdXQ6IGh0bWxfbm90ZWJvb2sNCi0tLQ0KDQpgYGB7cn0NCmZyaWVkbWFuJFplaXRwdW5rdCA9IGFzLmZhY3RvcihmcmllZG1hbnN0dWRpbyRaZWl0cHVua3QpDQpgYGANCg0KYGBge3J9DQpmcmllZG1hbiRaZWl0cHVua3Q8LWZhY3RvcihmcmllZG1hbiRaZWl0cHVua3QsIGxldmVscz1jKCJWb3J0ZXN0IiwgIlQxIiwgIlQyIiwgIlQzIikpIA0KYGBgDQoNCg0KIwlIeXBvdGhlc2UNCg0KSDE6IEVzIGdpYnQgZWluZW4gVW50ZXJzY2hpZWQgendpc2NoZW4gZGVyIGVtb3Rpb25hbGVuIFN0YWJpbGl0w6R0IHVuZCBkZW4gTWVzc3plaXRwdW5rdGVuLg0KSDA6IEVzIGdpYnQga2VpbmVuIFVudGVyc2NoaWVkIHp3aXNjaGVuIGRlciBlbW90aW9uYWxlbiBTdGFiaWxpdMOkdCB1bmQgZGVuIE1lc3N6ZWl0cHVua3Rlbi4NCg0KDQojCVZvcmF1c3NldHp1bmdlbiBkZXMgRnJpZWRtYW4tVGVzdHMNCg0KRGllIGFiaMOkbmdpZ2UgVmFyaWFibGUgaXN0IG1pbmRlc3RlbnMgb3JkaW5hbHNrYWxpZXJ0LT4gaXN0IGdlZ2ViZW4uDQoNCkVzIGxpZWdlbiB2ZXJidW5kZW5lIFN0aWNocHJvYmVuIHZvciwgYWJlciBkaWUgdmVyYnVuZGVuZW4gIkdydXBwZW4iIHZvbiBNZXNzd2VydGVuIHNpbmQgdW5hYmjDpG5naWcgdm9uZWluYW5kZXIgKHouQi4gZGllIHZlcnNjaGllZGVuZW4gTXV0dGVyLVZhdGVyLUtpbmQtVHJpYWRlbiBzaW5kIHZvbmVpbmFuZGVyIHVuYWJow6RuZ2lnKSAtPiBpc3QgZ2VnZWJlbg0KDQojCUJveHBsb3QNCg0KYGBge3J9DQpib3hwbG90KGZyaWVkbWFuJEVTdGFiaWxpdGFldCB+ICBmcmllZG1hbiRaZWl0cHVua3QsIG1haW4gPSAiQm94cGxvdCIsIGNvbCA9IGMoImhvdHBpbmszIiwidG9tYXRvIiwgIm9yYW5nZSIsICJsaWdodGJsdWUiKSwgeGxhYiA9ICJFbnR3aWNrbHVuZyBkZXIgZW1vdGlvbmFsZW4gU3RhYmlsaXTDpHQiLCB5bGFiID0gIkRpZSBlbW90aW9uYWxlIFN0YWJpbGl0w6R0IikNCg0KYGBgDQpFcyBiZXN0ZWh0IGVpbiBVbnRlcnNjaGllZCBpbiBkZW4gemVudHJhbGVuIFRlbmRlbnplbiB6d2lzY2hlbiBkZW4gTWVzc3plaXRwdW5rdGVuLiBFcyBsaWVnZW4gZWluIEF1c3JlacOfZXIgYmVpIFQzIHZvci4gRGllc2VyIGthbm4gaWdub3JpZXJ0IHdlcmRlbi4NCg0KDQojCURlc2tyaXB0aXZlIFN0YXRpc3Rpaw0KDQoNCmBgYHtyfQ0KbGlicmFyeShkcGx5cikNCmZyaWVkbWFuICU+JQ0KICBncm91cF9ieShaZWl0cHVua3QpICU+JQ0KICBzdW1tYXJpemUoQW56YWhsID0gbigpLCAgTWVkaWFuID0gbWVkaWFuKEVTdGFiaWxpdGFldCkpICU+JQ0KICBtdXRhdGVfaWYoaXMubnVtZXJpYywgcm91bmQsIDIpDQpgYGANCkRpZSBNZWRpYW5lIHVudGVyc2NoZWlkZW4gc2ljaC4gRGllIGVtb3Rpb25hbGUgU3RhYmlsaXTDpHQgdmVyYmVzc2VydCBzaWNoIGltIExhdWYgZGVyIFRoZXJhcGllLg0KDQojCUVyZ2Vibmlzc2UgZGVzIEZyaWVkbWFuLVRlc3QgDQpgYGB7cn0NCg0KZnJpZWQgPC0gZnJpZWRtYW4udGVzdChFU3RhYmlsaXRhZXQgfiBaZWl0cHVua3R8SUQsICBkYXRhID0gZnJpZWRtYW4pDQoNCmZyaWVkDQpgYGANCldpZSBBYmJpbGR1bmcgZW50bm9tbWVuIHdlcmRlbiBrYW5uLCB1bnRlcnNjaGVpZGVuIHNpY2ggZGllIGVtb3Rpb25hbGUgU3RhYmlsaXTDpHQgaW4gZGVuIGVpbnplbG5lbiBNZXNzemVpdHB1bmt0ZSBzaWduaWZpa2FudCANCihDaGktUXVhZHJhdCgzKSA9IDI4LjYzNiwgcCA8IC4wMDAsIG4gPSAxMSkuIA0KDQoNCg0KDQoNCiMgUG9zdC1ob2MtVGVzdHMNCg0KTXVsdGlwbGVzIFRlc3Rlbg0KDQoNCk9id29obCBkZXIgRi1UZXN0IHplaWd0LCBkYXNzIGVpbiBIYXVwdGVmZmVrdCBkZXIgVHJhaW5pbmcgYmVzdGVodCwgbXVzcyBhbmhhbmQgdm9uIFBvc3QtaG9jLVRlc3RzIGdla2zDpHJ0IHdlcmRlbiwgendpc2NoZW4gd2VsY2hlbiBNZXNzemVpdHB1bmt0ZW4gc2lnbmlmaWthbnRlIFVudGVyc2NoaWVkZSBiZXrDvGdsaWNoIGRlciBLb256ZW50cmF0aW9uc2bDpGhpZ2tlaXQgYmVzdGVoZW4uDQoNCkJlaSBkZXIgQmVyZWNobnVuZyB2b24gUG9zdC1ob2MtVGVzdHMgd2lyZCBpbSBQcmluemlwIGbDvHIgamVkZSBLb21iaW5hdGlvbiB2b24gendlaSBNaXR0ZWx3ZXJ0ZW4gZWluIHQtVGVzdCBkdXJjaGdlZsO8aHJ0LiBJbSBha3R1ZWxsZW4gQmVpc3BpZWwgbWl0IHZpZXIgR3J1cHBlbiBzaW5kIGRpZXMgNiBUZXN0cy4gTXVsdGlwbGUgVGVzdHMgc2luZCBqZWRvY2ggcHJvYmxlbWF0aXNjaCwgZGEgZGVyIEFscGhhLUZlaGxlciAoZGllIGbDpGxzY2hsaWNoZSBBYmxlaG51bmcgZGVyIE51bGxoeXBvdGhlc2UpIG1pdCBkZXIgQW56YWhsIGRlciBWZXJnbGVpY2hlIHN0ZWlndC4gV2lyZCBudXIgZWluIHQtVGVzdCBtaXQgZWluZW0gU2lnbmlmaWthbnpsZXZlbCB2b24gLjA1IGR1cmNoZ2Vmw7xocnQsIHNvIGJldHLDpGd0IGRpZSBXYWhyc2NoZWlubGljaGtlaXQgZGVzIE5pY2h0LUVpbnRyZWZmZW5zIGRlcyBBbHBoYS1GZWhsZXJzIDk1JS4gV2VyZGVuIGplZG9jaCB6ZWhuIHNvbGNoZXIgUGFhcnZlcmdsZWljaGUgdm9yZ2Vub21tZW4sIHNvIGJldHLDpGd0IGRpZSBOaWNodC1FaW50cmVmZmVucy1XYWhyc2NoZWlubGljaGtlaXQgZGVzIEFscGhhLUZlaGxlcnMgKC45NSk2ID0gLjczNS4gVW0gZGllIFdhaHJzY2hlaW5saWNoa2VpdCBkZXMgRWludHJlZmZlbnMgZGVzIEFscGhhLUZlaGxlcnMgenUgYmVzdGltbWVuLCB3aXJkIDEgLSAuNzM1ID0gLjI2NSBnZXJlY2huZXQuIERpZSBXYWhyc2NoZWlubGljaGtlaXQgZGVzIEVpbnRyZWZmZW5zIGRlcyBBbHBoYS1GZWhsZXJzIGxpZWd0IHNvbWl0IGJlaSAyNi41JS4gRGllc2UgRmVobGVyd2FocnNjaGVpbmxpY2hrZWl0IHdpcmQgYWxzICJGYW1pbHl3aXNlIEVycm9yIFJhdGUiIGJlemVpY2huZXQuDQoNCkhpZXJiZWkgd2lyZCDOsSBkdXJjaCBkaWUgQW56YWhsIGRlciBQYWFydmVyZ2xlaWNoZSBkaXZpZGllcnQuIEltIGhpZXIgYXVmZ2Vmw7xocnRlbiBGYWxsIGlzdCBkaWVzIC4wNS82ID0gLjAwOC4gDQoNCmBgYHtyfQ0KcGFpcndpc2UudC50ZXN0KGZyaWVkbWFuJEVTdGFiaWxpdGFldCwNCiAgICAgICAgICAgICAgICBmcmllZG1hbiRaZWl0cHVua3QsIA0KICAgICAgICAgICAgICAgIHAuYWRqdXN0Lm1ldGhvZCA9ICJub25lIiwgDQogICAgICAgICAgICAgICAgcGFpcmVkID0gVFJVRSwgDQogICAgICAgICAgICAgICAgZGF0YSA9IGZyaWVkbWFuKQ0KYGBgDQoNCkVzIHdpcmQgZXJzaWNodGxpY2gsIGRhc3MgYWxsZSBNZXNzemVpdHB1bmt0IHNpY2ggc2lnbmlma2FudCB1bnRlcnNjaGVpZGVuKHAgPCAuMDA4KSBiaXMgYXVmIFZvcnRlc3QgdW5kIFQxKHAgPSAwLjAxMjYyKS4gQWxsZXJkaW5ncyB3ZXJkZW4gVDIgdW5kIFQxIG51ciBrbmFwcCBlaW5lIHNpZ25pZmthbnQgKHAgPCAwLjAwNzkwKS4gRGFoZXIgc2NoZWludCBkaWUgVGhlcmFwaWUgZXJzdCBiZWkgbMOkbmdlcmUgQW53ZW5kdW5nIGVyZm9sZ3JlaWNoIHp1IHNlaW4uICANCg0KDQoNCiMJQmVyZWNobnVuZyBkZXIgRWZmZWt0c3TDpHJrZQ0KDQokJHcgPVxzcXJ0XGZyYWN7WF4yfSB7bn0kJA0KDQoNCmBgYHtyfQ0KDQp3ID0gc3FydChmcmllZCRzdGF0aXN0aWMvMTEpDQp3DQpgYGANCg0KWnVyIEJldXJ0ZWlsdW5nIGRlciBHcsO2c3NlIGRlcyBFZmZla3RlcyBkaWVudCBkaWUgRWludGVpbHVuZzoNCg0KdyA9IC4xMCBlbnRzcHJpY2h0IGVpbmVtIHNjaHdhY2hlbiBFZmZla3QNCncg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