Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Die Korrelation beschreibt, wie eng zwei numerische Merkmale miteinander verknüpft sind. Sie gibt an, ob eine Veränderung einer Variable eine Vorhersage über die Veränderung der anderen erlaubt. Zur quantitativen Erfassung wird der Korrelationskoeffizient r verwendet, eine Methode, die auf Bravais und Pearson zurückgeht.

Dieses Maß schwankt zwischen −1 und +1: Ein Wert von −1 bedeutet eine perfekte negative Abhängigkeit, während +1 eine perfekte positive Beziehung kennzeichnet. Liegt r = 0, besteht kein linearer Zusammenhang. Die Berechnung setzt voraus, dass die Beziehung zwischen den Merkmalen linear ist und keine kausalen Schlüsse gezogen werden.

Formel 1

\[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) (y_i – \bar{y})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} } \]

Formel 2

\[ r= \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i – n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 – n\bar{y}^2} } \]

Die zweite Formel ist einfacher und schneller im Taschenrechner zu berechnen.
mit
\(x_i, y_i =\) Werte der beiden Variablen x und y
\(\bar{x},\bar{y} =\) Mittelwerte der beiden Variablen x und y
\(n =\) Stichprobengrösse

Berechnung eines Beispiel

Person \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(x_i\) IQ	89	100	102	73	120	102	98	106
\(y_i\) Projekterfolg	50	60	70	40	80	72	61	73

\[\bar{x} = \frac{1}{8} \cdot (89+100+102+73+120+102+98+106) = 98.75\]

sprintf("x-quer: %.2f", 1/8*(89+100+102+73+120+102+98+106))

[1] "x-quer: 98.75"

\[\bar{y} = \frac{1}{8} \cdot (50+60+70+40+80+72+61+73) = 63.25\]

sprintf("y-quer: %.2f", 1/8*(50+60+70+40+80+72+61+73))

[1] "y-quer: 63.25"

Zähler

\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = & (89-98.75)\cdot (50-63.25)+\\ & (100-98.75)\cdot (60-63.25)+\\ & (102-98.75)\cdot (70-63.25)+\\ & (73-98.75)\cdot (40-63.25)+\\ & (120-98.75)\cdot (80-63.25)+\\ & (102-98.75)\cdot (72-63.25)+\\ & (98-98.75)\cdot (61-63.25) +\\ & (106-98.75)\cdot (73-63.25) \\ & = 1202.5 \end{align*} \]

c (89-98.75)* (50-63.25)+(100-98.75)* (60-63.25)+(102-98.75)* (70-63.25)+(73-98.75)* (40-63.25)+(120-98.75)* (80-63.25)+(102-98.75)* (72-63.25)+(98-98.75)* (61-63.25) +(106-98.75)* (73-63.25))

Nenner

\[ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} = \sqrt{(89-98.7)^2 + (100-98.7)^2 + \ldots +(106-98.7)^2} = 35.85 \]


sprintf("%.2f",sqrt((89-98.7)^2+(100-98.7)^2+(102-98.7)^2+(73-98.7)^2+(120-98.7)^2+(102-98.7)^2+(98-98.7)^2+(106-98.7)^2))

[1] "35.85"

\[ \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} = \sqrt{(50-63.25)^2 + (60-63.25)^2 + \ldots +(73-63.25)^2} = 35.064 \]

sqrt((50-63.25)^2+(60-63.25)^2+(70-63.25)^2+(40-63.25)^2+(80-63.25)^2+(72-63.25)^2+(61-63.25)^2+(73-63.25)^2)

[1] 35.06423

Korrelationskoeffizienten

\[ r= \frac{1202.5}{35.85 \cdot 35.064} = 0.95 \]

sprintf("r:%.5f", (1202.5)/(35.85 * 35.064))

[1] "r:0.95661"

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