Berechnung der Korrelationskoeffizienten

Die Methode der Spearman-Rangkorrelation untersucht Zusammenhänge zwischen zwei Variablen, indem sie deren Werte geordnet analysiert. Dabei werden nicht die direkten Messwerte genutzt, sondern stattdessen Rangwerte zugewiesen. Das Verfahren basiert somit ausschließlich auf der Reihenfolge der Werte (höher oder niedriger), nicht aber auf den absoluten Differenzen zwischen den Messwerten.

Im ersten Schritt werden alle Werte der beiden Variablen aufsteigend sortiert (siehe beispielsweise Spalte "Shopping"). Anschließend wird eine Rangnummer zugewiesen, beginnend bei 1. Enthalten mehrere Messwerte denselben Wert ("Ties"), wird der Durchschnitt der betroffenen Ränge berechnet. In diesem Beispiel sind jedoch keine gleichen Werte vorhanden.

Falls beispielsweise die Werte mit Rang 5 und 6 identisch wären, würde der Mittelwert ihrer Ränge berechnet: ((5 + 6)/2 = 5.5). Die beiden Werte erhielten dann den Rang 5.5.

Der endgültige Korrelationskoeffizient nach Spearman, auch ρ (rho) genannt, wird anhand der folgenden mathematischen Formel bestimmt:

Der Korrelationskoeffizient ρ (rho) nach Spearman wird anschließend anhand der folgenden Formel berechnet:

Der Korrelationskoeffizient ρ (rho) nach Spearman wird anschliessend anhand der folgenden Formel berechnet:

Formel - lang

\[ ρ_ = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) (y_i – \bar{y})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} } \]

gekürzte Formel

\[ ρ_\text{sp} = 1 – \frac{6 \cdot \sum_{i=1}^n d_i^2}{n\cdot (n^2 -1)}\]


mit
\(x_i, y_i =\) Werte der beiden Variablen x und y
\(\bar{x},\bar{y} =\) Mittelwerte der beiden Variablen x und y
\(n =\) Stichprobengrösse
\(d_i =\) Rangdifferenz
\(ρ_\text{sp}=\) Rangkorrelationskoeffizienten ### Berechnung eines Beispiel

Person \(i\) 1 2 3 4 5 6 7 8
\(x_i\) Einkommen 46 50 80 36 58 34 54 39
\(y_i\) Shopping 6.0 6.6 9.2 3.2 7.4 2.9 5.2 3.0

Berechung der Rangdifferenz

\(i\) \(x_i\) \(rang_{x_i}\) \(y_i\) \(rang_{y_i}\) \(d_i=rang_{x_i}-rang_{y_i}\)
1 46 4 6.0 5 -1
2 50 5 6.6 6 -1
3 80 8 9.2 8 0
4 36 2 3.2 3 -1
5 58 7 7.4 7 0
6 34 1 2.9 1 0
7 54 6 5.2 4 2
8 39 3 3.0 2 1

\[\sum_{i=1}^n d_i^2 = (-1)^2 +(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2+ 1^2= 8\]

sprintf("%.2f",(1)^2 + (-1)^2+ 0^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2+ 1^2)
[1] "8.00"

Rangkorrelationskoeffizient ρ

\[\begin{align*} ρ_\text{sp} &= 1- \frac{6 \cdot \sum_{i=1}^n d_i^2}{n\cdot (n^2 -1)}\\ &= 1- \frac{6 \cdot 8}{8 \cdot (8^2 – 1)}\\ &= 0.9048\end{align*}\]

sprintf("%.4f",1-((6*8)/(8*(8^2-1))))
[1] "0.9048"
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