Berechnung der Teststatistik

Um zu prüfen, ob die Mittelwertsunterschiede statistisch signifikant sind, muss die zugehörige Teststatistik berechnet werden. Die Verteilung der Teststatistik t folgt einer theoretischen t-Verteilung, deren Form sich in Abhängigkeit der Freiheitsgrade unterscheidet. Die dem Test zu Grunde liegende t-Verteilung gibt dem Test den Namen t-Test.

Die Teststatistik berechnet sich mit:

\[ t = \frac{\bar {X_1} - \bar {X_2}}{Standardfehler der Mittelwertsdifferenz}\] mit:

• \(\bar X_1, \bar X_2\): Mittelwerte der Variablen \(X_1\) und \(X_2\)

• \(n_1, n_2\): Stichprobengröße der beiden Stichproben.

Die Freiheitsgrade werden folgend berechnet:

\[ df = n1 + n2 -2\]

mit:

• \(n_1, n_2\): Stichprobengröße der beiden Stichproben.
  
  

Es gibt zwei Arten für dieses Verfahren den Standardfehler der Mittelwertdifferenz

• \(\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}\): Standardfehler der Mittelwertsdifferenz

• \(\hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}\): Schätzer für den Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

Sind die Populationsvarianzen bekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt berechnet:

\[\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2} = \sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}} \] mit:

• \(\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}\): Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

• \(\sigma^2_1, \sigma^2_2\): Populationsvarianzen der Variablen \(X_1\) und \(X_2\)

• \(n_1, n_2\): Stichprobengröße der beiden Stichproben.
  
  

Sind die Populationsvarianzen unbekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt geschätzt:

\[ \hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2} = \sqrt{\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_1}+\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_2}} \] mit:

• \(\hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}\): Schätzer für den Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

• \(n_1, n_2\): Stichprobengröße der beiden Stichproben.

• \(\hat\sigma^2_{inn}\): Schätzer für die gepoolte Varianz der beiden Grundgesamtheiten.

wobei sich der Schätzer für die gepoolte Varianz der beiden Grundgesamtheiten berechnet mit:

\[ \hat\sigma^2_{inn} = \frac{(n_1 - 1)\cdot s_1^2 + (n_2-1)\cdot s_2^2}{n_1+n_2-2} \] mit:

• \(n_1, n_2\): Stichprobengröße der beiden Stichproben.

• \(s_1^2, s_2^2\): Stichprobenvarianzen der Variablen \(X_1\) und \(X_2\)
  
  
  
  

Für das vorliegende Beispiel sind die Populationsvarianzen nicht bekannt, so dass sich nach Einfügen der Werte aus Abbildung in die entsprechenden Formeln folgendes ergibt:

\[ \hat\sigma^2_{inn} = \frac{(25 - 1)\cdot 3.70^2 + (26-1)\cdot 3.74^2}{25+26-2} =\frac{(25 - 1)\cdot 3.70^2 + (26-1)\cdot 3.74^2}{49} = \frac { 678.25}{49} = 13.841 \]

\[ t = \frac{\bar {X_1} - \bar {X_2}}{ \sqrt{\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_1}+\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_2}} }= \frac{21.00 - 16.15}{ \sqrt{\frac{13.841}{25}+\frac{13.841}{26}}}= 4.6\] Der Freiheitsgrad ist:

\[ df = 25 + 26 -2 = 49\] t-kritsch

qt(.975, df=49)

[1] 2.009575

Signifikanz der Teststatistik

Um zu beurteilen, ob der berechnete Wert statistisch signifikant ist, wird er mit einem kritischen Wert aus der t-Verteilung verglichen, der anhand der Freiheitsgrade bestimmt wird. Diese kritischen Werte sind in sogenannten t-Tabellen zu finden.

Die untenstehende Abbildung zeigt einen Auszug aus einer solchen Tabelle mit den kritischen Werten für die Signifikanzniveaus α = .05 und α = .01.

Im vorliegenden Fall liegt der kritische Wert bei 2.009 für df = 49 und α = .05. Da der Betrag der berechneten Teststatistik mit |4.6| deutlich über dem kritischen Wert liegt (|4.6| > 2.009), ist das Ergebnis statistisch signifikant.

Es kann somit angenommen werden, dass ein Unterschied zwischen den Mittelwerten besteht (t(49) = 4.6, p < .05, n = 51).

Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied zwischen dem Sicherheitsgefühl von Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen. \(M_{S} \ne M_{NS}\)

H0: Es gibt keinen Unterschied zwischen dem Sicherheitsgefühl von Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen.\(M_{S} = M_{NS}\)

Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben

Die abhängige Variable ist min. intervallskaliert -> Sicherheitsgefuehl(AV)

Es liegt eine unabhängige Variable vor, mittels der die beiden zu vergleichenden Gruppen gebildet werden. -> Ja, Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen

Das untersuchte Merkmal ist in den Grundgesamtheiten der beiden Gruppen normalverteilt -> siehe Histogramm

Homogenität der Varianzen: Die Gruppen kommen aus Grundgesamtheiten mit annähernd identischer Varianz -> siehe Levene-Test

Die einzelnen Messwerte sind voneinander unabhängig (das Verhalten einer Versuchsperson hat keinen Einfluss auf das Verhalten einer anderen) -> ist gegeben.

Prüfung der Normalverteilung mithilfe des Histogramms

library(dplyr)
library(ggplot2)

  t_testUN %>%
  group_by(Selbststaendig) %>%
  ggplot(aes(Sicherheitsgefuehl)) + 
    geom_histogram( binwidth=4, aes(fill=Selbststaendig), color="#e9ecef", alpha=0.7 ) + # Erstelle ein Histogramm, Unterteilung, Farbe + Transparenz
   facet_wrap(~Selbststaendig)+ # Zwei Graphen
    theme_classic()+ #Farbschema
    labs(x="Gruppierungen", y="Anzahl") # Beschriftung

Es liegt eine Normalverteilung von.

Deskriptive Statistiken

#library(dplyr)
t_testUN %>%
group_by(Selbststaendig) %>%
  summarize(Anzahl = n(), Mittelwert = mean(Sicherheitsgefuehl), Median = median(Sicherheitsgefuehl), Standardabweichung = sd(Sicherheitsgefuehl)) %>%
  mutate_if(is.numeric, round, 2)

`summarise()` ungrouping output (override with `.groups` argument)

Es zeigt sich für diese Fragestellung einen Mittelwertsunterschied. Das Sicherheitsgefühl bei Nicht-Selbstständigen ist höher (M = 21.00 SD = 3.7, n = 25) als bei Selbstständigen (M = 16.15 SD = 3.74, n = 26).

Test auf Varianzhomogenität (Levene-Test)

Für die Durchführung eines t-Tests für unabhängige Gruppen ist die Annahme der Varianzhomogenität erforderlich. Wenn jedoch Varianzheterogenität – also ungleiche Varianzen – vorliegt, müssen unter anderem die Freiheitsgrade des t-Wertes angepasst werden.

Ob die Varianzen tatsächlich gleich sind, lässt sich mit dem Levene-Test überprüfen.

Der Levene-Test geht von der Nullhypothese aus, dass sich die Varianzen nicht unterscheiden. Ein nicht signifikantes Ergebnis spricht daher dafür, dass die Varianzen als gleich angenommen werden können – es liegt also Varianzhomogenität vor.

Ist das Testergebnis hingegen signifikant, deutet dies auf Varianzheterogenität hin – die Annahme gleicher Varianzen muss dann verworfen werden.

library(car)

leveneTest(t_testUN$Sicherheitsgefuehl, t_testUN$Selbststaendig, center = mean)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
      Df F value Pr(>F)
group  1  0.1566  0.694
      49               

Also es ist zuerkennen, das Homogenität vorliegt, da der Levene-Test nicht signifikant ist. Daher können wir von gleichen Varianzen ausgehen (F(1, 49) = .1566, p = .694). Es ist daher nicht notwendig eine Welch-Korrektur durchzuführen.

Mit Welch-Korrektur: p < 0.05 => Ergebnis Signifikant –> Varianzen heterogen

Ohne Welch-Korrektur: p > 0.05 => Ergebnis nicht Signifikant –> Varianzen homogen –> H0 mit Annahme Var1=Var2

Ergebnisse des t-Tests für unabhängige Stichproben

An dieser Stelle findet die eigentliche Auswertung des t-Testes statt. Beim t-test wird die t-Verteilung verwendet.

Auch hier ist auf die Reihenfolge zu achten erst AV und dann UV. Da in diesem Beispiel eine ungerichtete Hypothese verwendet wird mit einem Sig.-Niveau von 0.05,ist “con= 0.95, alt =”two.sided"" zu verwenden. Sollten Sie sich jedoch entscheiden eine gerichtete Hypothese zu verwenden, dann empfiehlt es sich folgende Zeilen zu ersetzen “con= 0.95, alt =”greater"" Je nach Richtung “less” or “greater”. Sollte eine 1 bei p-value stehen ist es genau die andere Richtung.

“Var.eq =True” bedeutet, dass die Varianzen homogen (gleich) sind, bzw. “Var.eq =False” das die Varianzen hetrogen sind.

Variante 1: ohne Welch - Korrektur

##Gerichtete Hypothese
#test1<- t.test(t_testUN$Sicherheitsgefuehl~t_testUN$Selbststaendig, var.eq = TRUE, con= 0.95, alt = "greater")

##ungerichtete Hypothese
test1<- t.test(t_testUN$Sicherheitsgefuehl~t_testUN$Selbststaendig, var.eq = TRUE, con= 0.95, alt = "two.sided")
test1

    Two Sample t-test

data:  t_testUN$Sicherheitsgefuehl by t_testUN$Selbststaendig
t = 4.6532, df = 49, p-value = 2.513e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.753235 6.939072
sample estimates:
mean in group nicht-selbststaendig       mean in group selbststaendig 
                          21.00000                           16.15385 

Die Teststatistik betraegt t = 4.65 und der zugehörige Signifikanzwert p = 2.513e-05. Damit ist der Unterschied signifikant:

Mittelwerte der beiden Arten der Selbstständigkeit unterscheiden sich (t(49) = 4.65, p = 2.513e-05, n= 51)

Variante 2: MIT Welch-Korrektur

welch<- t.test(t_testUN$Sicherheitsgefuehl~t_testUN$Selbststaendig, var.eq = FALSE, con= 0.95, alt = "two.sided")
welch

    Welch Two Sample t-test

data:  t_testUN$Sicherheitsgefuehl by t_testUN$Selbststaendig
t = 4.6542, df = 48.959, p-value = 2.507e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.753659 6.938649
sample estimates:
mean in group nicht-selbststaendig       mean in group selbststaendig 
                          21.00000                           16.15385 

mit Welch-Korrektur(t(48.959) = 4.65, p = 2.507e-05)

Berechnung der Effektstärke

Bei gleichgroßen Gruppen

\[r=\sqrt{\frac{t^2}{t^2+df}}\]

eff <- sqrt ((test1$statistic^2 )/ (test1$statistic^2 + test1$parameter))
sprintf("Die Effektstärke liegt bei %.2f",eff )

[1] "Die Effektstärke liegt bei 0.55"

Zur Beurteilung der Groesse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

\[ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.30 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.30 &= ||r|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.30 &< ||r|| < 0.50 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.50 &= ||r|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.50 &< ||r|| \end{align} \] Im Rahmen des t-Tests fuer unabhängige Stichprobe berechnen wir nach Pearson und interpretieren nach Cohen(1992).

Damit entspricht eine Effektstaerke von .55 einem starken Effekt.

ALTERNATIVE

Bei ungleichgroßen Gruppen

\[ d = (\frac {n1+n2}{n1*n2}+ 0.5*d^2/df) * (\frac{(n1+n2}{df})\]

Diese Formel verwendet das EffSize-Package - Cooper et al. (2009):

library(effsize)

cohen.d(d = t_testUN$Sicherheitsgefuehl, f= t_testUN$Selbststaendig)

Cohen's d

d estimate: 1.3034 (large)
95 percent confidence interval:
    lower     upper 
0.6836258 1.9231733 

Interpretation von d nach Cohen (1988):

\[ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.20 &< ||d|| < 0.50 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.50 &= ||d|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.50 &< ||d|| < 0.80 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.80 &= ||d|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.80 &< ||d|| \end{align} \]

Damit entspricht eine Effektstaerke von 1.3 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Nicht-Selbststaendige fühlen sich signifikant beruflich sicherer (M = 21, SD = 3.69, n = 25) als Selbständige (M = 16.15, SD = 3.73, n = 26) (t(49) = 4.6532, p = 2.513e-05, n = 51). Die Effektstärke liegt bei r = .55 und entspricht damit einem starken Effekt nach Cohen (1992). H0 kann verworfen werden.