Berechnung der Teststatistik

Beim Mann-Whitney-U-Test wird nicht mit den eigentlichen Messwerten gerechnet. Stattdessen werden alle Werte nach ihrer Größe sortiert und jeweils mit einem Rang versehen. Auf diese Weise hängt die Teststatistik ausschließlich davon ab, ob ein Wert größer oder kleiner ist als ein anderer. Die genauen Abstände zwischen den Messwerten gehen dabei verloren und spielen für die Analyse keine Rolle. Sind schließlich alle Ränge ermittelt und für jede Gruppe summiert, lässt sich die Teststatistik U folgendermaßen bestimmen:

\[ U = n_1\cdot n_2 + \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}-R \] wobei

• \(n_1 =\) Stichprobe mit der größeren Rangsumme
• \(n_2 =\) Stichprobe mit der kleineren Rangsumme
• \(R =\) Rangsummen

gilt.

Berechnung:

\[ U = 9\cdot 14 + \frac{14(14 + 1)}{2}-206= 25 \]

(9*14)+((14*(14+1))/2)-206

[1] 25

\[ U = 9\cdot 14 + \frac{9(9 + 1)}{2}-70= 101 \]

(9*14)+((9*(9+1))/2)-70

[1] 101

Es wird der kleinere U-Wert verwendet. (101 > 25) Daher wird im weiteren mit 25 für U gerechnet.

Bei hinreichend großer Stichprobe \(n_1+ n_2 > 30\), kann die Signifikanz geprüft werden, in dem die U-Statistik z-standardisiert wird:

\[ z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}=\frac{U-\frac{n_1\cdot n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1\cdot n_2(n_1 + n_2 + 1)}{12}}} \]

wobei

• \(\mu_U =\) Mittelwert der U-Statistik
• \(\sigma_U =\) Streuung der U-Statistik
• \(n_1 =\) Stichprobengröße der Gruppe mit der größeren Rangsumme
• \(n_2 =\) Stichprobengröße der Gruppe mit der kleineren Rangsumme

gilt. Dieser z-Wert kann nun auf Signifikanz geprüft werden, in dem er mit dem kritischen Wert der Standardnormalverteilung (z-Verteilung) verglichen wird.

\[ z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}=\frac{25-\frac{14\cdot 9}{2}}{\sqrt{\frac{14\cdot 9(14 + 9 + 1)}{12}}}= -2.39 \]

a<- 25-((14*9)/2)
b <-sqrt((14*9*(14+9+1))/12)
a/b

[1] -2.393775

emprischer Wert

Der emprische z-Wert liegt bei \(| {-2.39}|\).

kritisch Wert

Der kritische z-Wert liegt bei \(1.96\).

Vergleich

\[| {-2.39} > 1.96| \rightarrow \text {Es liegt ein sig. Unterschied vor.}\]

Der berechnete z-Wert lässt sich auf Signifikanz überprüfen, indem er mit dem kritischen Wert der Standardnormalverteilung (z-Verteilung) verglichen wird. Dieser Wert ist in Tabellen verzeichnet und beträgt für ein zweiseitiges Signifikanzniveau von 0.05 ±1.96. Liegt der Betrag des z-Werts oberhalb dieses Grenzwerts, wird ein signifikantes Ergebnis angenommen. Im Beispiel ist dies der Fall, da |−2.39| > 1.96. Daher kann davon ausgegangen werden, dass sich die beiden zentralen Tendenzen unterscheiden (Mann-Whitney-U-Test: U = −25, p < .05).