Berechnung der Teststatistik

Der Kruskal-Wallis-Test basiert auf der Idee der Rangierung der Daten. Das heisst, es wird nicht mit den Messwerten selbst gerechnet, sondern diese werden durch Ränge ersetzt, mit welchen der eigentliche Test durchgeführt wird. Damit beruht die Berechnung des Tests ausschliesslich auf der Ordnung der Daten (grösser als, kleiner als). Die absoluten Abstände zwischen den Werten werden nicht berücksichtigt.

Hierbei werden die Messwerte mit Rängen versehen. Als erstes werden die einzelnen Messwerte ihrer Gröse nach aufgereiht. Dies geschieht unabhängig von der Gruppenzugehörigkeit (Spalte “Gruppe”). Danach werden die Messwerte rangiert und getrennt für jede Gruppe benannt.

Diese Ränge sind in Abbildung in den Spalten “Ränge ‘0-30’” bis 56+’” enthalten. Kommt ein Messwert mehrfach vor (engl. “ties”), so werden sogenannte “verbundene Ränge” gebildet.

Wenn Rang 1 und 2 beide die gleichen Messwerte aufweisen, wird aus diesen beiden der Mittelwert gebildet ((1 + 2)/2 = 1.5) und die Ränge 1 und 2 werden neu beide mit dem Rang 1.5 versehen. Dies ist im vorliegenden Beispiel für die Ränge 12 und 13 (mittlerer Rang: (12+13)/2 = 12.5), sowie 14 bis 16 der Fall (mittlerer Rang: (14+15+16)/3 = 15).

Schliesslich werden aus diesen ermittelten Rängen sogenannte Rangsummen gebildet (“Summen”). Hierfür werden lediglich die Ränge der jeweiligen Gruppe aufsummiert. Dies ergibt eine Rangsumme von 237.5 für die Gruppe 0-30 (n = 10), 124 für die Gruppe “31-55” (n = 8) und 73.5 für die Gruppe “56+” (n = 11). Zur Berechnung der Teststatistik H werden diese Rangsummen verwendet:

Ohne Korrektur

\[ \begin{align} H &= \frac{12}{N(N+1)}\sum^{k}_{i=1}\frac{R^2_i}{n_i}-3(N+1) \end{align} \]

\[ \begin{align} H &= \frac{12}{29(29+1)}*(\frac{237.5^2}{10}+\frac{124^2}{8}+\frac{73.5^2}{11})-3(29+1) = 21.08 \end{align} \]

mit:

• \(R_i =\) Rangsummen für jede Gruppe

• \(N =\) Gesamtstichprobengröße

• \(n_i =\) Größe der einzelnen Gruppe

• \(k =\) Anzahl der Gruppen

Freiheitsgrade

\[df = k -1 \]

\[df = 3 -1 = 2\]

mit: * \(k =\) Anzahl der Gruppen

Mit Korrektur

Bei verbundenen Rängen muss die Teststatistik korrigiert werden. (Wird von der Methode kruskal.test() ibn R automatisch gemacht.)

\[ \begin{align} H_{korr} &= \frac{H}{1-\frac{\sum^{m}_{j=1}(t^3_j-t_j)}{N^3-N}} \\ \end{align} \]

Da beim Beispiel verbundene Ränge vorliegen, muss die Korrekturformel angewendet werden.
Es liegen dreimal verbundene Ränge vor (daher m = 4): Ränge 1 & 2 (daher t1 = 2) sowie 13 & 28 (daher t2 = 2), 16 & 2 (daher t3 = 2) und 22 & 2 &18 (daher t3 = 3)
Dies ergibt:

\[ \begin{align} H_{korr} &= \frac{21.08}{1-\frac{(2^3-2)+(2^3-2)+(2^3-2)+(3^3-3)}{29^3-29}} =21.1 \end{align} \]

round(21.08/(1-((2^3-2)+(2^3-2)+(2^3-2)+(3^3-3))/(29^3-29)),2)

[1] 21.12

mit:

• \(m =\) Anzahl verbundene Ränge

• \(t_j =\) Anzahl Rohdatenwerte, die im \(j\)-ten Rangplatz stehen

Der emprischer Wert

Der emprische Wert liegt bei \(|21.1|\).

Der kritisch Wert

Der berechnete Wert muss nun auf Signifikanz geprüft werden. Die Teststatistik vergleicht den kritischen Wert der durch die Freiheitsgrade bestimmten Chi-Quadrat-Verteilung mit dem errechneten Wert. Dieser kritische Wert kann Tabellen entnommen werden. Es wird einseitig getestet.

qchisq(0.95,df=2)

[1] 5.991465

Der kritische Wert liegt bei 5.99

Vergleich

\[|−21.1| > 5.99 →\text {Es liegt ein sig. Unterschied vor.}\]

Für das vorliegende Beispiel betrüge der kritische Wert 5.99 bei df = 2 und α = .05. Ist der Betrag der Teststatistik höher als der kritische Wert, so ist der Unterschied signifikant. Dies wäre für das Beispiel der Fall (21.122 > 5.99). Es könnte daher davon ausgegangen werden, dass sich die zentralen Tendenzen unterscheiden (Chi-Quadrat(2) = 21.122, p < .05).