Überblick

head(wilcoxen, 6) # Ersten sechs Zeilen 

summary(wilcoxen)

       ID            Vorher         Nachher        Differenz     
 Min.   : 1.00   Min.   :17.00   Min.   :23.00   Min.   :-14.00  
 1st Qu.: 9.25   1st Qu.:30.00   1st Qu.:31.25   1st Qu.: -7.75  
 Median :17.50   Median :31.00   Median :34.00   Median : -3.50  
 Mean   :17.50   Mean   :30.68   Mean   :34.18   Mean   : -3.50  
 3rd Qu.:25.75   3rd Qu.:32.00   3rd Qu.:37.75   3rd Qu.:  0.75  
 Max.   :34.00   Max.   :39.00   Max.   :44.00   Max.   :  5.00  

str(wilcoxen)

'data.frame':   34 obs. of  4 variables:
 $ ID       : num  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ Vorher   : num  30 31 32 31 29 39 32 31 29 30 ...
 $ Nachher  : num  40 30 33 33 33 35 37 34 32 40 ...
 $ Differenz: num  -10 1 -1 -2 -4 4 -5 -3 -3 -10 ...

#Spalte Differenz anlegen 

differenz <- wilcoxen$Vorher -wilcoxen$Nachher 

wilcoxen <- cbind(wilcoxen, "Differenz" = differenz)
View(wilcoxen)

# Eine Spalte löschen

#wilcoxen$Differenz <- NULL
#View(Wilcoxon)

Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied in den Verkaufszahlen für die Aktionfigur “Held2000”vor dem Rabatt und nach dem Rabatt. \(M_{vorher} \ne M_{nacher}\)

H01: Es gibt keinen Unterschied in den Verkaufszahlen für die Aktionfigur “Held2000” vor dem Rabatt und nach dem Rabatt. \(M_{vorher} = M_{nachher}\)

Voraussetzungen für den Wilcoxon-Test

Die abhängige Variable ist mindestens ordinalskaliert -> Die Variable ist eigentlich metrisch.

Es liegen zwei verbundene Stichproben oder Gruppen vor, aber die verschiedenen Messwertpaare sind voneinander unabhängig - 1) Verbunden, weil wir den gleichen Store pro Zeile vergleichen 2) z.B Store A und Store B sind unabhängig

Boxplots zur Darstellung der Werte

boxplot(wilcoxen$Vorher , main = "Boxplot vor dem Rabatt", xlab = "Vorher", col = "hotpink3")

Vor dem Rabatt zeigt sich, dass drei Ausreißer auftraten (Median = 31). Jedoch da ein Wicoxen-Test für abhängige Stichproben durch geführt wird, können diese vernachlässigt werden.

boxplot(wilcoxen$Nachher , main = "Boxplot nach dem Rabatt", xlab = "Nach", col = "deepskyblue")

Der Median der Variable „Nachher“ liegt bei 34. Auf den ersten Blick könnte der Boxplot nahelegen, dass ein t-Test für abhängige Stichproben geeignet wäre. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich jedoch, dass dies keine sinnvolle Wahl ist: Die Varianzen unterscheiden sich deutlich, und es sind sowohl große als auch kleine Stores vertreten. Aus diesem Grund ist der Wilcoxon-Test die passendere Methode.

ALTERNATIV - Vor und Vach dem Rabatt

boxplot(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher, main = "Boxplots zu den Verkaufszahlen",col = c("hotpink3", "deepskyblue"), names = c("(links) vorher", "(rechts) nachher"), ylab = "Anzahl der verkauften Aktionfiguren ")

Berechnung der Mediane

library(psych)
zusammenfassung <-describe(wilcoxen)
zusammenfassung

ALTERNATIV

#Median der Var. Vorher und Nachher

sprintf("Median für Vor dem Rabatt : %.2f", median(wilcoxen$Vorher))

[1] "Median für Vor dem Rabatt : 31.00"

sprintf("Median für Nach dem Rabatt : %.2f", median(wilcoxen$Nachher))

[1] "Median für Nach dem Rabatt : 34.00"

sprintf("Anzahl der Daten: %.f", nrow(wilcoxen))

[1] "Anzahl der Daten: 34"

Es gibt einen Unterschied in der zentralen Tendenz zwischen zwei Messzeitpunkten. Vorher dem Rabatt wurden 31 Artikel gekauft (n=34); nach dem Rabatt wurden 34 Artikel verkauft (n=34).

Ergebnisse des Wilcoxon-Tests

Ist die Stichprobe hinreichend gross (n > 20), so ist der kritische Wert asymptotisch normalverteilt.

test<- wilcox.test(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = FALSE)
test

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  wilcoxen$Vorher and wilcoxen$Nachher
V = 69.5, p-value = 0.000817
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Ist dies nicht der Fall, so wird die exakte Signifikanz verwendet.

test<- wilcox.test(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)

Warning in wilcox.test.default(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher, alternative = "two.sided",  :
  cannot compute exact p-value with ties
Warning in wilcox.test.default(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher, alternative = "two.sided",  :
  cannot compute exact p-value with zeroes

test

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  wilcoxen$Vorher and wilcoxen$Nachher
V = 69.5, p-value = 0.000817
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

doppelt vorkommende Daten

" cannot compute exact p-value with zeroes"- Da in diesem Datensatz doppelte Messwerte vorkommen, kann kein exakter p-Wert berechnet werden. Folgende zwei Funktionen können herangezogen werden zur Berechnung des p-Wertes.

Var 1: mit der Funktion:wilcox.exact

#library(coin)
#library(exactRankTests)
var1test<- wilcox.exact(wilcoxen$Vorher, wilcoxen$Nachher ,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
var1test

    Exact Wilcoxon signed rank test

data:  wilcoxen$Vorher and wilcoxen$Nachher
V = 69.5, p-value = 0.0004196
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

Var 2: mit der Funktion:wilcoxsign_test

#library(coin)
var2test<- coin::wilcoxsign_test(wilcoxen$Vorher~ wilcoxen$Nachher ,distribution = "exact",alternative = "two.sided", paired = T)
var2test

    Exact Wilcoxon-Pratt Signed-Rank Test

data:  y by x (pos, neg) 
     stratified by block
Z = -3.2036, p-value = 0.0008935
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

Die Teststatistik beträgt V = 69.5 und der zugehörige Signifikanzwert p = .000. Damit ist der Unterschied signifikant: Die zentralen Tendenzen der beiden Messzeitpunkte unterscheiden sich (Wilcoxon-Test: V = 69.5, Z = -3.20, p = .000, n = 34).

Berechnung der Effektstärke

\[r=\left| \frac{z}{\sqrt{n}} \right|\]

Der z - Wert

#var 1: Zstat1<-qnorm(var1test$p.value /2)
#var 2: Zstat1<-var2test@statistic@teststatistic

Zstat1<-var2test@statistic@teststatistic
sprintf("Z-Wert für den WSR: %.2f", Zstat1)

[1] "Z-Wert für den WSR: -3.20"

Anzahl der Daten aus dem Datensatz

nk<-nrow(wilcoxen[wilcoxen$Vorher!=wilcoxen$Nachher,])
sprintf("Anzahl ohne Null: %.f", nk)

[1] "Anzahl ohne Null: 30"

Die Anzahl kann auch unter Datenmartix ausgelesen werden. In dem vorliegenden Beispiel sind es 30 Datensätze.

eff <-round(abs(Zstat1)/sqrt(nk),1)
sprintf("Effektstärke: %.1f", eff)

[1] "Effektstärke: 0.6"

Zur Beurteilung der Grösse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1988):

\[ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.25 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.25 &= ||r|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.25 &< ||r|| < 0.40 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.40 &= ||r|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.40 &< ||r|| \end{align} \]

Damit entspricht die Effektstärke von .6 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Die Verkaufszahlen der Aktionfigur “Held2000” sind nach der Gewährung eines Rabattes signifikant höher (Median = 34.00) als davor (Median = 31.00; Wilcoxon-Test: z-Wert: -3.2036, p = .000, n = 34). Die Effektstärke nach Cohen (1988) liegt bei r = .6 und entspricht einem starken Effekt. H0 kann verworfen werden.