Berechnung der Teststatistik

Der Wilcoxon-Test arbeitet nicht mit den numerischen Differenzen selbst, sondern basiert auf deren Reihenfolge. Statt der tatsächlichen Messwertdifferenzen werden die Beträge dieser Differenzen verwendet und aufsteigend sortiert. Auf Grundlage dieser Rangliste wird die Teststatistik ermittelt. Die genaue Größe der Differenz spielt dabei keine Rolle, nur ob sie größer oder kleiner als andere ist.

Zunächst wird für jedes Wertepaar die Differenz zwischen Nachher- und Vorherwert berechnet. Der Betrag dieser Differenz und ihr Vorzeichen werden anschließend separat notiert.

Anschließend werden die Beträge der Differenzen gerankt. Paare mit einer Differenz von exakt 0 werden dabei ausgenommen. Bei mehrfach vorkommenden Differenzen (sogenannten “Ties”) erhalten alle betroffenen Werte denselben Durchschnittsrang. Ein Beispiel: Die Differenz 1 tritt viermal auf. Normalerweise würde man ihr die Ränge 1 bis 4 zuweisen. Stattdessen wird der Mittelwert dieser Ränge berechnet, also (1+2+3+4)/4 = 2.5. Alle vier Werte mit Differenz 1 erhalten nun Rang 2.5.

Nach der Rangvergabe werden die Ränge nach Vorzeichen getrennt in zwei Gruppen (positiv und negativ) aufgeteilt und innerhalb jeder Gruppe aufsummiert:

\[ T_+ + T_- = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{30(30+1)}{2} = 465 \]

Dabei ist:

• \(T_+\) = Summe der positiven Ränge
  
• \(T_{-}\) = Summe der negativen Ränge
  
• \(n\) = Anzahl der von Null verschiedenen Paardifferenzen

Die Teststatistik \(W\) ist dann der kleinere der beiden Summen:

\[ W = \min(T_+, T_-) = 69{,}5 \]

Ist kein systematischer Unterschied zwischen Vorher- und Nachherwerten vorhanden, so liegt \(W\) nahe an seinem theoretischen Erwartungswert unter der Nullhypothese:

\[ \mu_w = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{30(30+1)}{4} = 232{,}5 \]

Prüfung auf Signifikanz

Ob die berechnete Teststatistik signifikant ist, lässt sich über die z-Standardisierung beurteilen. Bei ausreichend großer Stichprobe ($n > 20$) kann die Verteilung von \(W\) durch eine Normalverteilung angenähert werden. Daraus ergibt sich:

\[ Z = \frac{W - \mu_w}{\sigma_w} = \frac{69{,}5 - 232{,}5}{\sqrt{\frac{30(30+1)(2 \cdot 30 + 1)}{24}}} = \frac{-163}{48{,}61841} \approx -3{,}352 \]

Dabei ist:

• \(\mu_w\) = Erwartungswert des W-Werts unter der Nullhypothese (“kein Unterschied”)
  
• \(sigma_w\) = Standardfehler des W-Werts
  
• \(n\) = Anzahl der von Null verschiedenen Paardifferenzen

Der berechnete z-Wert wird mit dem kritischen Wert der Standardnormalverteilung verglichen. Für ein zweiseitiges Signifikanzniveau von 0.05 beträgt dieser \(±1{,}96\). Liegt der Betrag des z-Werts über diesem Schwellenwert, ist das Ergebnis signifikant.

Im Beispiel ist dies der Fall (\(|{-3{,}352}| > 1{,}96\)). Es besteht somit ein signifikanter Unterschied zwischen den Messwerten vor und nach der Maßnahme (Wilcoxon-Test: \(W = 69.5\), \(p < 0.05\), \(n = 34\)).