Pakete und Daten einlesen

import pandas as pd                    # Datenanalyse & Einlesen (z. B. Excel, CSV)
import numpy as np                     # Mathematische Funktionen & Arrays
import matplotlib.pyplot as plt        # Diagramme erstellen (z. B. Linien, Balken, Histogramme)
import seaborn as sns                  # Statistische & ästhetische Visualisierungen
from scipy.stats import ttest_ind, t, levene  # t-Test, kritischer t-Wert, Levene-Test

# Daten einlesen
df = pd.read_excel("t-testUN.xlsx")
df.columns = df.columns.str.strip()
df.head()

Berechnung der Teststatistik

Um zu prüfen, ob die Mittelwertsunterschiede statistisch signifikant sind, muss die zugehörige Teststatistik berechnet werden. Die Verteilung der Teststatistik t folgt einer theoretischen t-Verteilung, deren Form sich in Abhängigkeit der Freiheitsgrade unterscheidet. Die dem Test zu Grunde liegende t-Verteilung gibt dem Test den Namen t-Test.

Die Teststatistik berechnet sich mit:

$$ t = \frac{\bar {X_1} - \bar {X_2}}{Standardfehler der Mittelwertsdifferenz}$$ mit:

• $\bar X_1, \bar X_2$: Mittelwerte der Variablen $X_1$ und $X_2$

• $n_1, n_2$: Stichprobengröße der beiden Stichproben.

Die Freiheitsgrade werden folgend berechnet:

$$ df = n1 + n2 -2$$

mit:

• $n_1, n_2$: Stichprobengröße der beiden Stichproben.
  
  

Es gibt zwei Arten für dieses Verfahren den Standardfehler der Mittelwertdifferenz

• $\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}$: Standardfehler der Mittelwertsdifferenz

• $\hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}$: Schätzer für den Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

Sind die Populationsvarianzen bekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt berechnet:

$$\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2} = \sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}} $$ mit:

• $\sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}$: Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

• $\sigma^2_1, \sigma^2_2$: Populationsvarianzen der Variablen $X_1$ und $X_2$

• $n_1, n_2$: Stichprobengröße der beiden Stichproben.
  
  

Sind die Populationsvarianzen unbekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt geschätzt:

$$ \hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2} = \sqrt{\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_1}+\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_2}} $$ mit:

• $\hat \sigma_{\bar X_1 - \bar X_2}$: Schätzer für den Standardfehler der Verteilung der Mittelwertsdifferenzen

• $n_1, n_2$: Stichprobengröße der beiden Stichproben.

• $\hat\sigma^2_{inn}$: Schätzer für die gepoolte Varianz der beiden Grundgesamtheiten.

wobei sich der Schätzer für die gepoolte Varianz der beiden Grundgesamtheiten berechnet mit:

$$ \hat\sigma^2_{inn} = \frac{(n_1 - 1)\cdot s_1^2 + (n_2-1)\cdot s_2^2}{n_1+n_2-2} $$ mit:

• $n_1, n_2$: Stichprobengröße der beiden Stichproben.

• $s_1^2, s_2^2$: Stichprobenvarianzen der Variablen $X_1$ und $X_2$
  
  
  
  

Für das vorliegende Beispiel sind die Populationsvarianzen nicht bekannt, so dass sich nach Einfügen der Werte aus Abbildung in die entsprechenden Formeln folgendes ergibt:

$$ \hat\sigma^2_{inn} = \frac{(25 - 1)\cdot 3.70^2 + (26-1)\cdot 3.74^2}{25+26-2} =\frac{(25 - 1)\cdot 3.70^2 + (26-1)\cdot 3.74^2}{49} = \frac { 678.25}{49} = 13.841 $$

$$ t = \frac{\bar {X_1} - \bar {X_2}}{ \sqrt{\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_1}+\frac{\hat\sigma^2_{inn}}{n_2}} }= \frac{21.00 - 16.15}{ \sqrt{\frac{13.841}{25}+\frac{13.841}{26}}}= 4.6$$ Der Freiheitsgrad ist:

$$ df = 25 + 26 -2 = 49$$ t-kritsch

# Kritischer Wert für zweiseitigen Test (2.5% in jeder Seite)
kritischer_t = t.ppf(0.975, df=49)
print(f"Kritischer t-Wert (df=49, α=0.05): {kritischer_t:.4f}")

Kritischer t-Wert (df=49, α=0.05): 2.0096

Signifikanz der Teststatistik

Um zu beurteilen, ob der berechnete Wert statistisch signifikant ist, wird er mit einem kritischen Wert aus der t-Verteilung verglichen, der anhand der Freiheitsgrade bestimmt wird. Diese kritischen Werte sind in sogenannten t-Tabellen zu finden.

Die untenstehende Abbildung zeigt einen Auszug aus einer solchen Tabelle mit den kritischen Werten für die Signifikanzniveaus α = .05 und α = .01.

Im vorliegenden Fall liegt der kritische Wert bei 2.009 für df = 49 und α = .05. Da der Betrag der berechneten Teststatistik mit |4.6| deutlich über dem kritischen Wert liegt (|4.6| > 2.009), ist das Ergebnis statistisch signifikant.

Es kann somit angenommen werden, dass ein Unterschied zwischen den Mittelwerten besteht (t(49) = 4.6, p < .05, n = 51).

Hypothese

H1: Es gibt einen Unterschied zwischen dem Sicherheitsgefühl von Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen. $M_{S} \ne M_{NS}$

H0: Es gibt keinen Unterschied zwischen dem Sicherheitsgefühl von Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen.$M_{S} = M_{NS}$

Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben

Die abhängige Variable ist min. intervallskaliert -> Sicherheitsgefuehl(AV)

Es liegt eine unabhängige Variable vor, mittels der die beiden zu vergleichenden Gruppen gebildet werden. -> Ja, Selbstständigen und Nicht-Selbstständigen

Das untersuchte Merkmal ist in den Grundgesamtheiten der beiden Gruppen normalverteilt -> siehe Histogramm

Homogenität der Varianzen: Die Gruppen kommen aus Grundgesamtheiten mit annähernd identischer Varianz -> siehe Levene-Test

Die einzelnen Messwerte sind voneinander unabhängig (das Verhalten einer Versuchsperson hat keinen Einfluss auf das Verhalten einer anderen) -> ist gegeben.

Prüfung der Normalverteilung mithilfe des Histogramms

# Histogramm gruppiert nach 'Selbststaendig' mit Facetten (Subplots)
g = sns.displot(
    data=df,
    x="Sicherheitsgefuehl",
    col="Selbststaendig",
    hue="Selbststaendig",
    binwidth=4,
    kde=False,
    palette="pastel",
    edgecolor="#e9ecef",
    alpha=0.7
)

# Beschriftung
g.set_axis_labels("Gruppierungen", "Anzahl")
g.set_titles("Gruppe: {col_name}")
g.fig.suptitle("Histogramm nach Selbstständigkeit", y=1.05)
plt.show()

Es liegt eine Normalverteilung von.

Deskriptive Statistiken

# Gruppierte deskriptive Statistik berechnen und runden
stats_by_group = (
    df.groupby("Selbststaendig")["Sicherheitsgefuehl"]
    .agg(Anzahl="count", Mittelwert="mean", Median="median", Standardabweichung="std")
    .round(2)
)

display(stats_by_group)

	Anzahl	Mittelwert	Median	Standardabweichung
Selbststaendig
nicht-selbststaendig	25	21.00	22.0	3.70
selbststaendig	26	16.15	16.0	3.74

Es zeigt sich für diese Fragestellung einen Mittelwertsunterschied. Das Sicherheitsgefühl bei Nicht-Selbstständigen ist höher (M = 21.00 SD = 3.7, n = 25) als bei Selbstständigen (M = 16.15 SD = 3.74, n = 26).

Test auf Varianzhomogenität (Levene-Test)

Für die Durchführung eines t-Tests für unabhängige Gruppen ist die Annahme der Varianzhomogenität erforderlich. Wenn jedoch Varianzheterogenität – also ungleiche Varianzen – vorliegt, müssen unter anderem die Freiheitsgrade des t-Wertes angepasst werden.

Ob die Varianzen tatsächlich gleich sind, lässt sich mit dem Levene-Test überprüfen.

Der Levene-Test geht von der Nullhypothese aus, dass sich die Varianzen nicht unterscheiden. Ein nicht signifikantes Ergebnis spricht daher dafür, dass die Varianzen als gleich angenommen werden können – es liegt also Varianzhomogenität vor.

Ist das Testergebnis hingegen signifikant, deutet dies auf Varianzheterogenität hin – die Annahme gleicher Varianzen muss dann verworfen werden.

# Levene-Test: Varianzgleichheit von 'Sicherheitsgefuehl' über die Gruppen 'Selbststaendig'
stat, p = levene(
    *[group['Sicherheitsgefuehl'].values          # Sternchen (*) splittet die Liste in einzelne Arrays
      for _, group in df.groupby('Selbststaendig')],
    center='mean'                                 # entspricht center = mean in R
)

print(f"Levene-Statistik: {stat:.4f},   p-Wert: {p:.4g}")

Levene-Statistik: 0.1566,   p-Wert: 0.694

Also es ist zuerkennen, das Homogenität vorliegt, da der Levene-Test nicht signifikant ist. Daher können wir von gleichen Varianzen ausgehen (F(1, 49) = .1566, p = .694). Es ist daher nicht notwendig eine Welch-Korrektur durchzuführen.

Mit Welch-Korrektur: p < 0.05 => Ergebnis Signifikant --> Varianzen heterogen

Ohne Welch-Korrektur: p > 0.05 => Ergebnis nicht Signifikant --> Varianzen homogen --> H0 mit Annahme Var1=Var2

Ergebnisse des t-Tests für unabhängige Stichproben

An dieser Stelle findet die eigentliche Auswertung des t-Testes statt. Beim t-test wird die t-Verteilung verwendet.

Auch hier ist auf die Reihenfolge zu achten erst AV und dann UV. Da in diesem Beispiel eine ungerichtete Hypothese verwendet wird mit einem Sig.-Niveau von 0.05,ist “con= 0.95, alt =”two.sided"" zu verwenden. Sollten Sie sich jedoch entscheiden eine gerichtete Hypothese zu verwenden, dann empfiehlt es sich folgende Zeilen zu ersetzen “con= 0.95, alt =”greater"" Je nach Richtung “less” or “greater”. Sollte eine 1 bei p-value stehen ist es genau die andere Richtung.

“Var.eq =True” bedeutet, dass die Varianzen homogen (gleich) sind, bzw. “Var.eq =False” das die Varianzen hetrogen sind.

Gruppen bilden

print(df.columns)  # zeigt alle Spaltennamen
print(df['Selbststaendig'].unique())  # zeigt, welche Werte vorhanden sind

gruppe_ns = df[df['Selbststaendig'] == 'nicht-selbststaendig']['Sicherheitsgefuehl']
gruppe_s  = df[df['Selbststaendig'] == 'selbststaendig']['Sicherheitsgefuehl']

print(f"Größen: NS={len(gruppe_ns)}, S={len(gruppe_s)}")

Index(['ID', 'Selbststaendig', 'Sicherheitsgefuehl'], dtype='object')
['selbststaendig' 'nicht-selbststaendig']
Größen: NS=25, S=26

Variante 1: ohne Welch - Korrektur

# Ungerichteter t-Test mit gleichen Varianzen (var.eq = TRUE)
t_stat, p_value = ttest_ind(gruppe_ns, gruppe_s, equal_var=True, alternative='two-sided')
print(f"t(49) = {t_stat:.4f}, p = {p_value:.4g}")

t(49) = 4.6532, p = 2.513e-05

Die Teststatistik betraegt t = 4.65 und der zugehörige Signifikanzwert p = 2.513e-05. Damit ist der Unterschied signifikant:

Mittelwerte der beiden Arten der Selbstständigkeit unterscheiden sich (t(49) = 4.65, p = 2.513e-05, n= 51)

Variante 2: MIT Welch-Korrektur

# Welch-t-Test (Varianzen ungleich)
t_stat_welch, p_value_welch = ttest_ind(gruppe_ns, gruppe_s, equal_var=False, alternative='two-sided')

# df wird bei Welch automatisch berechnet und ist nicht integer
print(f"Welch-Korrektur: t = {t_stat_welch:.4f}, p = {p_value_welch:.4g}")

Welch-Korrektur: t = 4.6542, p = 2.507e-05

mit Welch-Korrektur(t(48.959) = 4.65, p = 2.507e-05)

Berechnung der Effektstärke

Bei gleichgroßen Gruppen

$$r=\sqrt{\frac{t^2}{t^2+df}}$$

# Effektstärke r nach t-Wert und df
r = (t_stat**2 / (t_stat**2 + 49))**0.5
print(f"Effektstärke r = {r:.2f}")

Effektstärke r = 0.55

Zur Beurteilung der Groesse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

$$ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.30 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.30 &= ||r|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.30 &< ||r|| < 0.50 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.50 &= ||r|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.50 &< ||r|| \end{align} $$ Im Rahmen des t-Tests fuer unabhängige Stichprobe berechnen wir nach Pearson und interpretieren nach Cohen(1992).

Damit entspricht eine Effektstaerke von .55 einem starken Effekt.

ALTERNATIVE

Bei ungleichgroßen Gruppen

$$ d = (\frac {n1+n2}{n1*n2}+ 0.5*d^2/df) * (\frac{(n1+n2}{df})$$

Diese Formel verwendet das EffSize-Package - Cooper et al. (2009):

# Gruppengrößen, Mittelwerte und SDs
n1, n2 = len(gruppe_ns), len(gruppe_s)
mean1, mean2 = gruppe_ns.mean(), gruppe_s.mean()
std1, std2 = gruppe_ns.std(ddof=1), gruppe_s.std(ddof=1)

# Pooled SD
s_pooled = np.sqrt(((n1 - 1)*std1**2 + (n2 - 1)*std2**2) / (n1 + n2 - 2))

d = (gruppe_ns.mean() - gruppe_s.mean()) / s_pooled
print(f"Cohen's d = {d:.2f}")

Cohen's d = 1.30

Interpretation von d nach Cohen (1988):

$$ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.20 &< ||d|| < 0.50 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.50 &= ||d|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.50 &< ||d|| < 0.80 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.80 &= ||d|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.80 &< ||d|| \end{align} $$

Damit entspricht eine Effektstaerke von 1.3 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Nicht-Selbststaendige fühlen sich signifikant beruflich sicherer (M = 21, SD = 3.69, n = 25) als Selbständige (M = 16.15, SD = 3.73, n = 26) (t(49) = 4.6532, p = 2.513e-05, n = 51). Die Effektstärke liegt bei r = .55 und entspricht damit einem starken Effekt nach Cohen (1992). H0 kann verworfen werden.