Vergleich des Sicherheitsgefühls – T-Test mit Welch-Korrektur

Einleitung

In dieser Analyse wird untersucht, ob sich das empfundene Sicherheitsgefühl von Personen signifikant unterscheidet, abhängig davon, ob sie als selbstständig oder nicht selbstständig klassifiziert sind. Es handelt sich hierbei um eine klassische Fragestellung, bei der ein t-Test für unabhängige Stichproben angewendet werden kann. Da keine Varianzhomogenität angenommen wird, wird die Welch-Korrektur verwendet.

Ziel dieses Dokuments ist es, nicht nur den Test durchzuführen, sondern auch die manuelle Berechnung der Welch-Korrektur vollständig nachzuvollziehen und zu erklären.

Einlesen der Daten

Die Daten stammen aus einer Excel-Datei und beinhalten die gemessenen Werte des Sicherheitsgefühls sowie die Gruppenzugehörigkeit (selbstständig vs. nicht selbstständig).

library(readxl)
#t_testUN <- read_excel("t-testUN.xlsx")
View(t_testUN)

Durchführung des T-Tests

Ein t-Test für unabhängige Stichproben wird mit Hilfe der t.test()-Funktion durchgeführt. Dabei wird explizit var.equal = FALSE gesetzt, um den Welch-Test zu aktivieren, der für ungleiche Varianzen besser geeignet ist.

test1 <- t.test(Sicherheitsgefuehl ~ Selbststaendig, data = t_testUN, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, alternative = "two.sided")
test1

    Welch Two Sample t-test

data:  Sicherheitsgefuehl by Selbststaendig
t = 4.6542, df = 48.959, p-value = 2.507e-05
alternative hypothesis: true difference in means between group nicht-selbststaendig and group selbststaendig is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.753659 6.938649
sample estimates:
mean in group nicht-selbststaendig 
                          21.00000 
      mean in group selbststaendig 
                          16.15385 

Deskriptive Statistik

Zur Vorbereitung der manuellen Welch-Berechnung benötigen wir die deskriptiven Kennwerte der beiden Gruppen: Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobengröße. Diese werden mit dem psych-Paket berechnet.

library(psych)
g <- describeBy(t_testUN$Sicherheitsgefuehl, group = t_testUN$Selbststaendig, mat = TRUE)
g

Schritt-für-Schritt: Manuelle Durchführung der Welch-Korrektur

1. Berechnung der gewichteten Varianzanteile

Die Welch-Korrektur berücksichtigt, dass die Varianzen der beiden Gruppen unterschiedlich sein können. Für die Berechnung definieren wir: - \(s_1^2\): Varianz Gruppe 1 - \(s_2^2\): Varianz Gruppe 2 - \(n_1, n_2\): Gruppengrößen

Zuerst berechnen wir die Anteile der Streuung je Gruppe:

m1 <- g$mean[1]
m2 <- g$mean[2]
sd1 <- g$sd[1]
sd2 <- g$sd[2]
anzahl1 <- g$n[1]
anzahl2 <- g$n[2]

a <- (sd1^2 / anzahl1)
b <- (sd2^2 / anzahl2)

2. Berechnung der Gewichtung \(c\)

Die Gewichtung \(c\) ist ein Zwischenwert zur Berechnung der modifizierten Freiheitsgrade:

\[ c = \frac{\frac{s_1^2}{n_1}}{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \]

c <- a / (a + b)
c

[1] 0.5042206

3. Berechnung der modifizierten Freiheitsgrade

Mit \(c\) können nun die modifizierten Freiheitsgrade \(df\) nach der Welch-Formel berechnet werden:

\[ df = \frac{(n_1 - 1)(n_2 - 1)}{(n_1 - 1)c^2 + (n_2 - 1)(1 - c)^2} \]

df <- ((anzahl1 - 1) * (anzahl2 - 1))/ ((anzahl1 - 1) * c^2 + (anzahl2 - 1) * (1 - c)^2)
sprintf("Modifizierte Freiheitsgrade - via Formel: %.2f", df)

[1] "Modifizierte Freiheitsgrade - via Formel: 48.99"

sprintf("Modifizierte Freiheitsgrade - via T-test: %.2f", test1$parameter)

[1] "Modifizierte Freiheitsgrade - via T-test: 48.96"

4. Berechnung des empirischen t-Werts

Der t-Wert ergibt sich aus der Differenz der Mittelwerte und der standardisierten gepoolten Streuung:

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

zaehler <- m1 - m2
nenner <- sqrt(a + b)
t_emp <- zaehler / nenner

sprintf("Modifizierte Freiheitsgrade - via Formel: %f", t_emp)

[1] "Modifizierte Freiheitsgrade - via Formel: 4.654213"

sprintf("Modifizierte Freiheitsgrade - via T-test: %f", test1$statistic)

[1] "Modifizierte Freiheitsgrade - via T-test: 4.654213"

Dieser manuell berechnete t-Wert sollte mit dem Ergebnis aus der t.test()-Funktion übereinstimmen (kleine Rundungsdifferenzen möglich).

Interpretation der Ergebnisse

• t-Wert: misst den Unterschied der Mittelwerte im Verhältnis zur Streuung.
• Freiheitsgrade: modifiziert nach Welch, abhängig von Varianzen und Gruppengrößen.
• p-Wert: wird anhand von \(t\) und \(df\) bestimmt. Ist der p-Wert kleiner als 0.05, liegt ein signifikanter Unterschied vor.

Auch das Konfidenzintervall der Mittelwertdifferenz unterstützt die Interpretation: Es zeigt, in welchem Bereich der wahre Mittelwertunterschied mit 95 % Sicherheit liegt.

Fazit

Mit dem t-Test unter Verwendung der Welch-Korrektur konnte statistisch untersucht werden, ob das Sicherheitsgefühl zwischen selbstständigen und nicht selbstständigen Personen signifikant unterschiedlich ist. Die manuelle Berechnung der Welch-Korrektur wurde vollständig nachvollzogen – inklusive der Zwischenschritte für gewichtete Varianz, modifizierte Freiheitsgrade und t-Wert.