Wilcoxon-Test für abhängige Stichproben

Hypothese

H1: Der Toleranzschwellwert gegen v ändert sich im Laufe von drei Jahren. \(Median_{vorher} \ne Median_{nacher}\)

H0: Der Toleranzschwellwert gegen Schmutz ändert sich im Laufe von drei Jahren nicht. \(Median_{vorher} = Median_{nachher}\)

Voraussetzungen für den Wilcoxon-Test

Die abhängige Variable ist mindestens ordinalskaliert - erfüllt!

Es liegen zwei verbundene Stichproben oder Gruppen vor, aber die verschiedenen Messwertpaare sind voneinander unabhängig (e.g. Paar A und Paar B sind voneinander unabhängig)

1. Es wird dieselbe Person beim Einzug und 3 Jahre nach dem Einzug befragt
2. Die Daten sind unabhängig, weil verschiedene Studierende befragt wurden ( A und B sind unabhängig.)

Boxplots zur Darstellung der Werte

boxplot(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher, main = "Boxplot TUZ",col = c("hotpink3", "deepskyblue"), names = c("(links) Einzug", "(rechts) nach 3 Jahren"), ylab = "TUZ")

Die Mediane unterscheiden sich. Der Median für die Var. “TUZvoher” liegt bei 4, der von "TUZnacher bei 6. Es gibt keine Ausreißer und die Daten sehen gut verteilt aus.

Berechnung der Mediane

library(psych)
zusammenfassung <-describe(uebung7)
zusammenfassung

ALTERNATIV

#Median der Var. Vorher und Nachher

sprintf("TUZ vorher: %.2f", median(uebung7$TUZvorher))

[1] "TUZ vorher: 4.00"

sprintf("TUZ nachher: %.2f", median(uebung7$TUZnachher))

[1] "TUZ nachher: 6.00"

sprintf("Anzahl der Daten: %.f", nrow(uebung7))

[1] "Anzahl der Daten: 12"

Es gibt einen Unterschied in der zentralen Tendenz zwischen zwei Messzeitpunkten. Beim Einzug lag die Toleranzschwelle bei einem Median von 4 nach 3 Jahren bei 6 (n=12).

Ergebnisse des Wilcoxon-Tests

Ist die Stichprobe hinreichend gross (n > 20), so ist der kritische Wert asymptotisch normalverteilt.

test<- wilcox.test(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = FALSE)
test

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  uebung7$TUZvorher and uebung7$TUZnachher
V = 2, p-value = 0.009628
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Ist dies nicht der Fall, so wird die exakte Signifikanz verwendet.

test<- wilcox.test(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)

kann bei Bindungen keinen exakten p-Wert Berechnenkann den exakten p-Wert bei Nullen nicht berechnen

test

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  uebung7$TUZvorher and uebung7$TUZnachher
V = 2, p-value = 0.009628
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

doppelt vorkommende Daten

“kann bei Bindungen keinen exakten p-Wert Berechnen, kann den exakten p-Wert bei Nullen nicht berechnen”- Da in diesem Datensatz die Rangierung doppelt vorkommen, kann kein exakter p-Wert berechnet werden.

Exakter Test wegen sehr kleiner Stichprobe n=12

library(exactRankTests)

Paket 㤼㸱exactRankTests㤼㸲 wurde unter R Version 3.6.3 erstellt Package 㤼㸱exactRankTests㤼㸲 is no longer under development.
 Please consider using package 㤼㸱coin㤼㸲 instead.

test<- wilcox.exact(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
test

    Exact Wilcoxon signed rank test

data:  uebung7$TUZvorher and uebung7$TUZnachher
V = 2, p-value = 0.007812
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

Die Teststatistik beträgt V = 2 und der zugehörige Signifikanzwert p = 0.007812. Damit ist der Unterschied signifikant: Die zentralen Tendenzen der beiden Messzeitpunkte unterscheiden sich (Wilcoxon-Test: V = 2, p = 0.007812, n = 12).

mit der library(coin)

library(coin)

Paket 㤼㸱coin㤼㸲 wurde unter R Version 3.6.3 erstelltLade n昼㸶tiges Paket: survival
Paket 㤼㸱survival㤼㸲 wurde unter R Version 3.6.3 erstellt
Attache Paket: 㤼㸱coin㤼㸲

The following objects are masked from 㤼㸱package:exactRankTests㤼㸲:

    dperm, pperm, qperm, rperm

test<- wilcox.exact(uebung7$TUZvorher, uebung7$TUZnachher,alternative = "two.sided",paired = TRUE, exact = TRUE)
test

    Exact Wilcoxon signed rank test

data:  uebung7$TUZvorher and uebung7$TUZnachher
V = 2, p-value = 0.007812
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

Es gibt keine Unterschiede in der Darstellung oder Berechnung.

Berechnung der Effektstärke

\[r=\left| \frac{z}{\sqrt{n}} \right|\]

Der z - Wert

Zstat1<-qnorm(test$p.value/2)

sprintf("Z-Wert für den WSR: %.2f", Zstat1)

[1] "Z-Wert für den WSR: -2.66"

Hinweis: Bei diesem z-Wert handelt es sich um das z-empirisch.

Anzahl der Daten aus dem Datensatz

nk<-nrow(uebung7[uebung7$TUZvorher!=uebung7$TUZnachher,])
sprintf("Anzahl ohne Null: %.f", nk)

[1] "Anzahl ohne Null: 10"

Die Anzahl kann auch unter Datenmartix ausgelesen werden. In dem vorliegenden Beispiel sind es 10 Datensätze.

# absoluter Wert -> Betrag
eff <-abs(Zstat1)/sqrt(nk)
sprintf("Effektstärke: %.2f", eff)

[1] "Effektstärke: 0.84"

Zur Beurteilung der Grösse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

\[ \begin{align} \text{Schwacher Effekt: } 0.10 &< ||r|| < 0.25 \\ \text{Schwacher bis mittlerer Effekt: } 0.25 &= ||r|| \\ \text{Mittlerer Effekt: } 0.25 &< ||r|| < 0.40 \\ \text{Mittlerer bis starker Effekt: }0.40 &= ||r|| \\ \text{Starker Effekt: } 0.40 &< ||r|| \end{align} \]

Damit entspricht die Effektstärke von .84 einem starken Effekt.

Eine Aussage

Die Toleranzschwelle steigt nach 3 Jahren im Wohnheim an (V = 2, p-value = 0.007812, n=12). Beim Einzug liegt der Median für die Toleranz gegen Schutz und Dreck bei 4 nach 3 Jahren bei 6, sprich die Studierenden werden toleranter gegenüber Schmutz und Dreck. Die Effektstärke nach Cohen (1992) liegt bei r = .84 und entspricht einem starken Effekt.

H0 kann verworfen werden.