Einleitung

Die mehrfaktorielle Varianzanalyse untersucht, ob es Unterschiede in den Mittelwerten mehrerer unabhängiger Gruppen gibt, die durch verschiedene kategoriale unabhängige Variablen definiert sind. Diese Variablen werden als Faktoren bezeichnet, während ihre jeweiligen Ausprägungen als Faktorstufen oder Behandlungen (englisch "Treatments") bezeichnet werden. Im Gegensatz zur einfaktoriellen ANOVA, die nur einen Faktor betrachtet, analysiert die mehrfaktorielle Varianzanalyse mehrere Einflussgrößen gleichzeitig.

Die Hauptidee dieser Analyse ist es, die Gesamtvarianz der abhängigen Variablen in verschiedene Komponenten zu zerlegen. Diese Komponenten umfassen die Varianz innerhalb der Gruppen sowie die Varianz zwischen den Gruppen. Bei der mehrfaktoriellen ANOVA wird die Varianz zwischen den Gruppen weiter aufgespalten, um die Effekte der einzelnen Faktoren sowie deren mögliche Wechselwirkungen, also Interaktionen, zu untersuchen.

Die Besonderheit der mehrfaktoriellen ANOVA liegt darin, dass neben den Haupteffekten der einzelnen Faktoren auch die Wechselwirkungen zwischen den Faktoren analysiert werden.

Dadurch kann untersucht werden, ob die Wirkung eines Faktors von der Ausprägung eines anderen Faktors abhängt.

Eine typische Fragestellung könnte lauten: "Gibt es signifikante Unterschiede zwischen den Mittelwerten einer abhängigen Variablen in verschiedenen Gruppen? Welche Faktorstufen sind dabei relevant? Gibt es Wechselwirkungen zwischen den Faktoren, die den Gesamteffekt beeinflussen?"

Beispiele

Welchen Einfluss hat die Sportlichkeit (gering, mittel, hoch) und die Ernährung (Vegan, Vegetarisch, Rohkost, Mischkost) auf den Gesundheitindex, gemessen durch den Hausarzt?
Haben Rauchen (Ja, Nein) und Konsumhäufigkeit von Alkohol (nie, 1 mal pro Woche, 3 mal pro Woche, jeden Tag, mehrfach täglich) einen Einfluss auf die Leberwerte?
In einem Experiment zur sozialen Verträglichkeit werden drei Faktoren manipuliert: die Herzlichkeit der Personen (sehr herzlich, durchschnittlich herzlich, wenig herzlich), die Lügehäufigkeit (viel, durchschnittlich, wenig) und die Empathie (ausgeprägt, durchschnittlich, wenig). Wie beeinflussen diese Faktoren die soziale Verträglichkeit?

Voraussetzungen der mehrfaktoriellen Varianzanalyse ohne Messwiederholung

✓	Die abhängige Variable muss mindestens intervallskaliert sein.
✓	Die unabhängigen Variablen (Faktoren) sind kategorial, also entweder nominal- oder ordinalskaliert.
✓	Die durch die Faktoren gebildeten Gruppen müssen unabhängig voneinander sein.
✓	Die abhängige Variable sollte in jeder Gruppe normalverteilt sein. Bei mehr als 25 Probanden pro Gruppe kann eine leichte Verletzung dieser Annahme toleriert werden.
✓	Homogenität der Varianzen: Die Gruppen sollten aus Populationen stammen, die ähnliche Varianzen in der abhängigen Variable aufweisen (siehe Levene-Test).

Beispiel einer Studie

Du machst eine Bar auf nach dem Studium. Statistik hat die aber so gut gefallen, dass du eine Studie durchführst mit 150 Studierende. Zusätzlich wurden zwei mögliche Einflussfaktoren erhoben: die Alkoholgehalt (3 Erfahrungsstufen) und das Geschlecht. Haben Alkoholgehalt und Geschlecht einen Einfluss auf die Anzahl der gesungenen Songs? Liegt eine Interaktion zwischen Alkoholgehalt und Geschlecht vor?

Der zu analysierende Datensatz enthält neben einer Personennummer (ID) den Anzahl der gesungenen Songs (Songs) sowie die Gruppierungsvariablen Alkoholgehalt (5%, 15%, 35%) und Geschlecht (männlich, weiblich).

Downloads

In diesem Bereich werden folgende Dokumente zum Download angeboten. Der erste Link ist der Datensatz, der in R eingelesen werden soll. Das Word-Dokument kann als Protokoll verwendet werden. Die Schritte sind bei der Erstellung einer Auswertung immer die gleichen.

Die Grundidee der Varianzanalyse

Betrachtet man die Gruppenmittelwerte der Beispieldaten, wird schnell klar, dass Unterschiede vorhanden sind. Um festzustellen, ob diese Abweichungen auch statistisch signifikant sind, wird eine Varianzanalyse (ANOVA) durchgeführt.

Nullhypothese für Haupteffekt A

Die Mittelwerte der Populationen, beispielsweise für die verschiedenen Alkoholgehaltsstufen, sind gleich. Es gibt also keinen signifikanten Unterschied zwischen den verschiedenen Stufen des Alkoholgehalts.

Alternativhypothese für Haupteffekt A

Die Mittelwerte der Populationen für die unterschiedlichen Alkoholgehaltsstufen sind ungleich. Es existiert ein Unterschied zwischen den Stufen, wobei mindestens eine Stufe sich signifikant von den anderen unterscheidet.

Nullhypothese für Haupteffekt B

Die Mittelwerte der Populationen, beispielsweise für die zwei Geschlechtergruppen, sind identisch. Es gibt keinen signifikanten Unterschied zwischen den Geschlechtern.

Alternativhypothese für Haupteffekt B

Die Mittelwerte der Populationen für die verschiedenen Geschlechter unterscheiden sich. Es gibt einen signifikanten Unterschied zwischen den Geschlechtern, wobei mindestens ein Geschlecht sich vom anderen unterscheidet.

Aufteilung der Messwerte

Im Gegensatz zur einfaktoriellen Varianzanalyse wird der Effekt der Gruppenmitgliedschaft bei der zweifaktoriellen Varianzanalyse detaillierter aufgeschlüsselt. Da hier mehr als ein Faktor analysiert wird, kann jeder Faktor und jede Wechselwirkung zwischen den Faktoren auf die Variabilität der Daten Einfluss nehmen. Dies führt uns zu einem neuen Konzept: den Interaktionseffekten.

Haupteffekte und Interaktionen

Ein Haupteffekt bezieht sich auf den direkten Einfluss, den ein Faktor allein auf die abhängige Variable ausübt. In unserem Beispiel wäre das der Haupteffekt des Alkoholgehalts oder der Haupteffekt des Geschlechts, also die jeweiligen isolierten Auswirkungen dieser Faktoren auf die Anzahl der gesungenen Lieder.

Eine Interaktion tritt auf, wenn zwei oder mehr Faktoren in Kombination wirken und die Effekte nicht einfach addiert werden können. Das bedeutet, dass die Auswirkung eines Faktors davon abhängt, wie der andere Faktor ausgeprägt ist. In unserem Beispiel würde das heißen, dass der Einfluss des Geschlechts auf die Anzahl gesungener Lieder unterschiedlich ist, je nachdem, wie hoch der Alkoholgehalt ist – und umgekehrt, der Einfluss des Alkoholgehalts variiert je nach Geschlecht.

R berücksichtigt in Modellen automatisch alle möglichen Wechselwirkungen zwischen den Faktoren: Bei zwei Faktoren A und B wird die Wechselwirkung als A x B dargestellt. Wenn drei Faktoren vorliegen, A, B und C, werden auch die Interaktionen zwischen A x B, A x C, B x C sowie eine Dreifach-Interaktion A x B x C in die Analyse einbezogen.

Mehrfaktorielle Varianzanalyse ohne Messwiederholung

Quiz

Übungsaufgabe

Downloads

Die Grundidee der Varianzanalyse

Nullhypothese für Haupteffekt A

Alternativhypothese für Haupteffekt A

Nullhypothese für Haupteffekt B

Alternativhypothese für Haupteffekt B

Aufteilung der Messwerte

Haupteffekte und Interaktionen

Quadratsummen

Berechnung der Teststatistik

Signifikanz der Teststatistik

Die mehrfaktorielle Varianzanalyse