Statistik

Grundlegendes Konzept

Der t-Test für eine Stichprobe

Der t-Test für eine Stichprobe wird eingesetzt, um zu überprüfen, ob der Mittelwert einer Stichprobe mit einem bekannten oder hypothetischen Mittelwert der Grundgesamtheit übereinstimmt. Er kann beispielsweise herausfinden, ob der Stichprobenmittelwert gleich, größer oder kleiner als dieser vorgegebene Wert ist. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn man den wahren Mittelwert der Population nicht genau kennt, aber durch die Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit ziehen möchte.

Der t-Test vergleicht hierzu den Mittelwert der Stichprobe mit dem definierten Referenzwert und schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass ein entdeckter Unterschied zufallsbedingt ist. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Daten der Stichprobe annähernd normalverteilt sind. Führt der Test zu einem statistisch signifikanten Ergebnis, deutet dies darauf hin, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit tatsächlich vom erwarteten Wert abweicht.

Kurz gesagt fragt der t-Test für eine Stichprobe: "Unterscheidet sich unser Stichprobenmittelwert vom theoretischen Wert für die gesamte Population? Ist er höher oder niedriger?" So lässt sich mit einer einzigen Stichprobe abschätzen, ob der Populationsmittelwert dem vermuteten Wert entspricht oder eben nicht.

Darüber hinaus kann der t-Test dabei helfen zu beurteilen, ob festgestellte Abweichungen zwischen Stichprobe und Population eher auf Zufall oder auf systematische Einflüsse zurückgehen. In der Praxis findet dieser Test häufig Anwendung, um Ergebnisse einer Untersuchung (z. B. einer Studie oder eines Experiments) auf ihre Übertragbarkeit auf die Gesamtpopulation zu prüfen.

Beispiele

Gibt es einen Unterschied im Mittelwert zwischen dem IQ aus der Stichprobe und dem durchschnittlichen IQ aus Deutschland?
Gibt es einen Unterschied zwischen dem Mittelwert des Marktingbugets der Firma "Klein" und dem Branchendurchschnitt?
Gibt es einen Unterschied zwischen dem Mittelwert der Abfüllanlange und der Produktionscharge?
Gibt es einen Unterschied zwischen dem Mittelwert des regionalen Durchschnittspreises pro qm und Preise der Immobilienobjekte in unserem Bestand?

Voraussetzungen für den t-Tests für eine Stichprobe

✓	Die Variable ist min. intervallskaliert
✓	Die Variable ist in der Grundgesamtheit normalverteilt

Berechnung der Teststatistik

Beispiel einer Studie

Als Kontrollvariable wird der IQ erhoben. Es hat sich nämlich in anderen Testverfahren herausgestellt, dass der IQ ein Störfaktor darstellt. Daher soll nun unterschucht werden, ob der IQ aus der Stichprobe sich vom Durchschnitts-IQ in Deutschland unterscheidet.

Downloads

In diesem Bereich werden folgende Dokumente zum Download angeboten. Der erste Link ist der Datensatz, der in R eingelesen werden soll. Das Word-Dokument kann als Protokoll verwendet werden. Die Schritte sind bei der Erstellung einer Auswertung immer die gleichen.

Der Datensatz kann hier heruntergeladen werden: t-Test für eine Stichprobe (csv-Datei)

Das Word-Dokument kann hier heruntergeladen werden: Word-Dokument zum t-Test für eine Stichprobe

t-Test für eine Stichprobe

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Übungsaufgabe