Friedman

Der Friedman-Test für abhängige Stichproben untersucht, ob es signifikante Unterschiede in den zentralen Tendenzen mehrerer abhängiger Gruppen gibt. Dieser Test wird besonders dann genutzt, wenn die Bedingungen für eine Varianzanalyse nicht erfüllt sind.

Von "abhängigen Stichproben" spricht man, wenn Messwerte in einer Gruppe in Beziehung zu entsprechenden Messwerten in einer anderen Gruppe stehen. Dies tritt in folgenden Szenarien auf:

Wiederholte Messungen: Dabei werden die gleichen Personen mehrmals getestet, etwa vor, während und nach einer Behandlung. Auch der Vergleich verschiedener Behandlungen bei derselben Person fällt darunter.
Natürliche Paare: Hier stammen die Messwerte von unterschiedlichen, jedoch miteinander verbundenen Personen, z. B. von Partnern, Therapeut und Klient oder Eltern und Kind.
Gepaartes Matching: Die Messwerte kommen von verschiedenen Individuen, die auf Basis eines gemeinsamen Merkmals zusammengebracht wurden, z. B. aufgrund eines ähnlichen Wertes auf einer anderen Variablen, die für die Analyse selbst nicht im Fokus steht.

Der Friedman-Test ist die nichtparametrische Alternative zur einfaktoriellen Varianzanalyse bei Messwiederholungen. Er wird eingesetzt, wenn die Anforderungen an parametrische Tests nicht gegeben sind. Nichtparametrische Tests wie dieser erfordern keine Normalverteilung der Daten, und die abhängige Variable muss lediglich ordinal skaliert sein. Zudem ist der Test robust gegenüber kleinen Stichproben und Ausreißern.

Die Fragestellung des Friedman-Tests lautet oft:
"Gibt es Unterschiede in den zentralen Tendenzen einer Variable über mehrere abhängige Gruppen oder Zeitpunkte hinweg?"

Beispiele für mögliche Fragestellungen

Fünf verschiedene Methoden zur Diagnostik der Schwangerschaftsdauer werden an 10 Frauen getestet. Unterscheiden sich die Vorhersagen?
In einem Eishockey-Team wird ein neues Krafttraining eingeführt. Die Muskelmasse der Spieler wird vor dem Training, direkt danach, sowie drei Monate später erhoben. Wie entwickelt sich der Muskelaufbau der Eishockey-Spieler?
In einer Studie zu Aggressivität in Kinderkrippen werden Mütter, Väter und Krippenpersonal zum Verhalten der Kinder befragt. Unterscheiden sich die Beurteilungen?
Um den Effekt vier verschiedener Therapiemethoden zu prüfen, werden 92 Personen im geschlossenen Strafvollzug untersucht. Da vermutet wird, dass die Intelligenz einen Einfluss auf den Therapieerfolg haben könnte, werden vorab Vierergruppen von Probanden vergleichbarer Intelligenz gebildet. Die vier Personen in jeder Gruppe werden zufällig so auf die vier Treatments verteilt, dass an jedem Treatment je eine Person aus jeder Gruppe teilnimmt. Weisen die vier Therapiemethoden unterschiedliche Effekte auf?

Voraussetzungen des Friedman-Tests

•	Die abhängige Variable ist mindestens ordinalskaliert.
•	Es liegen verbundene Stichproben vor, jedoch sind die verschiedenen „Gruppen“ von Messwerten untereinander unabhängig (z. B. die einzelnen Angestellter-Chef-Kollege-Triaden stehen in keiner Abhängigkeit zueinander).

Grundlegende Konzepte

Beispiel einer Studie

Elf Patienten einer Klinik nehmen an einer Thearpie teil. Es soll untersucht werden, ob sich die Thearpie auf den emotionale Stabilität auswirkt. Daher werden für jeden Patienten vor der Thearpie, im ersten, zweiten und dritten Monat danach erhoben. Zeigen sich Unterschiede zwischen den Messzeitpunkten? Da die Stichprobe klein ist (n = 11) wird ein Friedman-Test durchgeführt.

Der zu analysierende Datensatz enthält neben einer Identifikationsnummer der Patienten (ID) die vier Messzeitpunkt (Vortest,T1, T2, T3).

Downloads

In diesem Bereich werden folgende Dokumente zum Download angeboten. Der erste Link ist der Datensatz, der in R eingelesen werden soll. Das Word-Dokument kann als Protokoll verwendet werden. Die Schritte sind bei der Erstellung einer Auswertung immer die gleichen.

Der Datensatz kann hier heruntergeladen werden: Der Friedman (Excel-Datei)

Das Word-Dokument kann hier heruntergeladen werden: Word-Dokument zum Friedman-Test

Berechnen der Teststatistik

Der Friedman-Test beruht auf der Methode der Rangordnung der Daten. Anstatt die tatsächlichen Messwerte zu verwenden, werden diese in Ränge umgewandelt und der Test wird auf Grundlage dieser Ränge durchgeführt. Somit basiert die Berechnung des Tests ausschließlich auf der Reihenfolge der Werte (größer oder kleiner), während die genauen Abstände zwischen den Werten keine Rolle spielen.

Jedem Mitarbeitenden werden für die verschiedenen Messzeitpunkte Ränge zugeordnet (siehe Spalten "Ränge" in der Abbildung). In diesem Beispiel gibt es vier Messungen, sodass die Ränge von 1 bis 4 reichen.

Anschließend werden die Ränge für jeden Messzeitpunkt zu sogenannten Rangsummen zusammengefasst (siehe Zeile "Rangsummen" in der Abbildung). Dabei werden nur die Ränge des jeweiligen Messzeitpunktes summiert. Deutliche Unterschiede in den Rangsummen deuten darauf hin, dass es signifikante Unterschiede zwischen den Messzeitpunkten gibt.

Zum Abschluss wird die Teststatistik nach dem von Friedman entwickelten Verfahren berechnet:

mit

k	Anzahl der Treatments oder Messwiederholungen
n	Anzahl der Probanden
R_i	Rangsumme für das Treatment bzw. den Messzeitpunkt i
χ_r²	Teststatistik für den Friedman-Test
df = k − 1	Freiheitsgrade

Für das vorliegende Beispiel ergibt dies:

Liegen verbundene Ränge vor, so muss die Prüfgrösse korrigiert werden:

mit

n	Anzahl der Probanden
k	Anzahl der Treatments oder Messwiederholungen
m	Anzahl von Fällen (Gruppen) mit verbundenen Rängen
t_j	Anzahl der Rohdatenwerte, die im j-ten Rangplatz stehen

Da im Beispiel **gebundene Ränge** vorhanden sind, ist es notwendig, eine **Korrekturformel** anzuwenden, um die Ergebnisse entsprechend anzupassen.

Signifikanz der Teststatistik

Zunächst wird der berechnete Wert auf Signifikanz geprüft. Dazu vergleicht man die Teststatistik mit dem kritischen Wert der Chi-Quadrat-Verteilung, der sich aus den Freiheitsgraden (df) ergibt. Der kritische Wert kann aus entsprechenden Tabellen entnommen werden. Die Abbildung unten zeigt einen entsprechenden Auszug.

In diesem Beispiel liegt der kritische Wert bei 7,81, mit df = 3 und einem Signifikanzniveau von α = .05. Wird dieser Wert von der Teststatistik übertroffen, spricht dies für einen signifikanten Unterschied. Genau dies ist hier der Fall (27,76 > 7,81). Daher lässt sich schließen, dass sich die emotionale Stabilität zu den verschiedenen Messzeitpunkten unterscheidet (Friedman-Test: Chi-Quadrat(3) = 27,76, p < .05, n = 11).

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